2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一空间向量数量积的概念思考1如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.答案，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计

2、算.思考2等边ABC中，与的夹角是多少？答案120.梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac(3)空间向量的夹角定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b.范围：a，b0，.特别地：当a，b时，ab.知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则

3、cos |ab|a|b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直.解此命题不正确.p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(a

4、b)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直.(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b).解ab|a|b|cosa，b，ab34cos 1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434()41627246461.反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知a，b均为单

5、位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A. B. C. D.4答案C解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913，|a3b|.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量

6、的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.解(1)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(2)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.解如图所示.，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0且a2.a2.又|cos，cos，.又，0，180，120，又异面直线所成的角是锐角

7、或直角，异面直线BA1与AC所成的角为60.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影， l，且lOA.求证：lPA.证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.因为lOA，所以a0.因为PO，且l，所以lPO，因此a0.又因为aa()aa0，所以lPA.命题角度2利用数量积求模(或距离)例4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.解因为，所以2()22222().因为BAD90，BAA1DAA160，所以，90，60，所以21492(1

8、3cos 6023cos 60)23.因为2|2，所以|223，|，即AC1.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.跟踪训练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离.解，|2()2|2|2|2222122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|2，即A，D两点间的距离为2.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图

9、，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.答案45解析a与2ba垂直，a(2ba)0，即2ab|a|20.2|a|

10、b|cosa，b|a|20，4cosa，b40，cosa，b，又a，b0，180，a与b的夹角为45.1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()A.14 B. C.4 D.2答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是()A. B. C. D.答案D解析选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1A1D，而A1DB1C，所以AD1B1C，此时有0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得ACBD，可得AC平面BB1D1D，故有ACBD1，此时0；选项C，由长方体

11、的性质可得AB平面ADD1A1，所以ABAD1，所以0.故选D.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0答案B解析易知正确；与的夹角为120，不正确.故选B.4.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.答案解析cosa，b，a，b.5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab

12、|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入ab|a|b|cosa，b求解.40分钟课时作业一、选择题1.设a、b为空间的非零向量，下列各式：a2|a|2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由数量积的性质和运算律可知是正确的，故选B.2.如图，空间四

13、边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.D.与不能比较大小答案C解析易知AEBC，0，()()|cos 120|cos 120|cos 120.3.已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于()A. B.5 C.6 D.答案A解析|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc1212412211cos 60411cos 60411cos 605，|ab2c|.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A.2 B.2 C.2 D.2答案C解析2a2，故A错；2

14、a2，故B错；2a2，故D错，只有C正确.5.已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析，()201201，又|2，|1.cos，.异面直线所成的角是锐角或直角，a与b所成的角是60.6.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A. B.2 C. D.答案D解析，2()22222221112(cos 60cos 60cos 60)6，|.二、填空题7.已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与

15、b的夹角为，则|ab|_.答案解析|ab|2a22abb21212cos 227，|ab|.8.已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b.9.已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.10.将AB2，BC2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角，则B，D间的距离为_.答案解析作DEAC于点E，BFAC于点F.由已知可得，AC4，DEBF，AE1，CF1，EF2.二面角的大小为60，与的夹角为120，|2()27，|，B，D间的距离为.三、解答题11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若ABCD，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，试用向量方法证明EFAD且EFBC.证明连接AF，点F是BC的中点，()，()()，又|，2222，同理22222，将代入可得222222，222()0，()0，()0，0，.同理可得.EFAD且EFBC.12.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBCAD1，