2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案新人教B版选修2

1、第三章空间矢量和立体几何1空间矢量加法和减法的三个茄子级别空间矢量是处理立体几何问题的有力工具，但是要用好的矢量这个工具解决问题，必须熟练地使用加法和减法。第1层使用已知向量表示未知向量如范例1所示，M，N分别是四面体OABC的边缘OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，向量，解决方案=(-)=(-)=()=；=(-)=(-)=()=。评论用已知矢量表示未知矢量，必须结合图形，以图形为指导是解决问题的关键。要正确理解矢量加、减、乘的几何意义。端点相接的多个向量的和等于从起点向量的起点指向终点向量的端点的向量。我们可以把牙齿定律称为向量加法的多边形定律。在立体几何中要灵活应用三角形法则。向量加

2、法的平行四边形定律第2层简化向量示例2如图所示，已知空间四边形ABCD是AC，BD .将S.M .G分别连接到BC，CD的中点，以简化以下表达式并显示简化结果的矢量。(1)；(2)()；(3)-()。解决方案(1)=。(2) ()=。(3)-()=-=。，如图所示。评论需要空间中多个向量的和，可以通过变换转换为端点相交的向量。如果端点相接的多个向量构成闭合形状，那么加到向量0.2的平行四边形定律在空间中仍然成立。可以考虑在求两个起点相同的矢量之和时使用平行四边形法则。第3层证明了三维几何问题。示例3已知M，N牙齿四面体ABCD的面BCD和面ACD的重心，G是AM的一点，GM: GA=1: 3，

3、如图所示。验证：B、G、N有三个点共线。证明设置=a，=b，=c，那么=-a (a b c)=-a b c，=()=-a b c=。，即b，g，n在3点共线。2空间矢量故障点扫描错误的点1不太理解矢量角度和数量积的关系。示例1“ab0”是“a，b”在“压印”中的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _条件无效的ab0cos =0 是钝角，因此“ab0”是“a，b”是钝角的先决条件。在五人席误解中，两个向量共线，忽略了反转的情况。“A，B”=，ab0，但此时角度不是钝角，因此“ab0”是“A，B”钝角所需的不足条件。积极的解决方法是不够的。摘要ab0a和b的角度是钝角或a和

4、b的相反方向，ab0a和b的角度是锐角，或者a和b的方向相同。无效的点2忽略两个向量的夹角定义如图2所示，120的二面角-AB-，AC-，BD，AC-AB，BD-AB，垂直脚分别为A，b .已知AC=AB=BD=误解AC ab、BD ab、=0，=0，二面角-ab-的平面角度为120，=120。Cd2=2=()22 2 2 2 2 2=362 262 cos120=72，CD=6。这是因为误解了二面角的平面角度和矢量角度的概念。矢量，角度是与二面角-AB-beta的平面偏角互补的，不是等价的。正解AC ab，BD ab，=0，=0，二面角-ab-的平面角度为120。=180-120=60。Cd

5、2=2=()22 2 2 2 2 2=362 262 cos60=144，CD=12。很容易判断是否有错误的点3共面错误。示例3知道o、a、b和c是空间不共面的4点，a=，b=-，不能与a、b一起构成空间的标准之一是()A.b.c.d .或解决错误a=、b=-、相加=(a b)、所以，所有与A，B共面，不能形成空间的基础，所以选择D。语法分析=(a b)，说明与a，b共面，但不能认为它们都与a，b共面。对于a，b:设置=xa Yb，A=、b=-、赋值清理(x y-1) (x y) (x-y)=0所以，它不是共面的。因此，x y-1=0，x y=0，x-y=0，牙齿时，x，y不存在，因此a，b不

6、是共面的。因此，构成a、b和空间的基板。同样，a，b，也可以形成空间的基础。由于C: a=、b=-、差集为=(a-b)，因此它们与a，b共面，因此无法形成空间的基础。正解c实数点4混淆向量运算和实数运算示例4阅读下面的每种类型。其中正确的是()A.ab=BC (b 0) a=CB.ab=0a=0或b=0C.(ab) c=a (BC)D.=| | | | cos(180-AOB)解决a(或b或c)错误解剖当然会使矢量的数量积等于实数运算，从而导致失误。向量的数量积运算不能满足剔除法，结合率，所以A，C是错的。如果Ab=0a=0或b=0或ab，则b无效。角度为180-AOB。正解d容易出错的5点忽

7、略了系统构建的前提条件。示例5四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，AE-平面ABCD，AE=2，F是CE的中点。合理设置坐标系以获得角度的馀弦。将a错误地解释为坐标原点，并将的方向分别设置为x、y和z轴的正向，从而设置空间正交坐标系Axyz。在牙齿点=(1，1，1)，=(0，2，0)所以cos =。要分析空间直角坐标系的建立，前提是三条直线垂直于2 2，在牙齿问题上直线AB不垂直于AD。正解决方案设置AC、BD交点o、ACBD。因为f是CE中点，所以OFAE、因为Ae平面ABCD所以of平面ABCD，of AC，of BD，使用o作为坐标原点，并将空间笛卡尔坐标系Oxyz设置为x、y

8、和z轴的正向。在牙齿点，=(1，0，1)、=(1，0)、所以cos =。因为在求错点6牙齿空间角时，对所需角度和矢量角度的关系没有理解错。示例6在正方形ABCD-A1B1C1D1中获取二面角A-BD1-C的大小。将d错误地解释为坐标原点，从而设置空间正交坐标系，如图所示。将正方形的角设置为1。D (0，0，0)、a1 (1，0，1)、C1 (0，1，1)。如问题所示，平面ABD1的法线向量，=(1，0，1)，平面BCD1的法线向量，=(0，1，1)，所以cos =。因此=60。因此，二面角a-bd1-c的大小为60。分析中使用矢量法求角度问题，要注意所需角度的准确位置。使用d作为坐标原点，设置

9、空间正交坐标系，将方形的角设置为1，如图所示。D (0，0，0)、a1 (1，0，1)、C1 (0，1，1)。可以通过问题知道=(1，0，1)是平面ABD1的法向矢量，=(0，1，1)是平面BCD1的法向矢量。所以cos =，因此=60。可以用图形表示二面角A-BD1-C的大小为120。3空间直角坐标系构建3战略利用空间矢量解决立体几何问题的方法是依靠图形创建空间直角坐标系，用坐标表示其他矢量，通过矢量运算确定或证明空间元素的位置关系、空间角度、空间距离问题的探索1.使用公共顶点的徐璐直角三个角点示例1在已知的直方柱上试验AA1=2、底部AB-CD是直角梯形、DAB是直角、AB-CD、AB=4

10、、AD=2、DC=1是反面线BC1和DC的每个馀弦设置空间正交坐标系，将D作为坐标原点，将DA、DC和DD1牙齿的直线分别作为X、Y和Z轴，如图所示。D (0，0，0)、C1 (0，1，2)、b (2，4，0)、c (0，1，0)、所以=(-2，-3，2)，=(0，-1，0)。所以cos =。因此，双面线BC1和DC形成的角度的馀弦为。以牙齿例子为背景，求出双面线的角度。解决的关键是直方柱图的共点三个角在徐璐垂直关系的基础上视觉，建立空间的直角坐标系，写出点的坐标和相关矢量的坐标，求出两个双面线的方向矢量的角度。2.利用波前垂直关系三角形棱柱ABC-A1B1C1中的AB-平面BB1C1C，E是

11、棱柱C1C中点的已知AB=，BB1=2，BC=1，BC=1=。尝试建立适当的空间直角将b点释放到BP垂直BB1，将C1C从P点释放，因为AB平面BB1C1C，所以BP平面ABB1A1、设置空间正交坐标系，将b作为原点，将BP、BB1和BA所在的直线作为X、Y和Z轴。Ab=、bb1=2、BC=1、 BC=1=、因此，CP=，C1P=，BP=，每个点坐标分别为b (0，0，0)、A1(0，0，0)、B1 (0，2，0)、c(，)空间直角坐标系的建立，尽量使很多点落在坐标轴上，建设的坐标系不仅可以快速使用每个点的坐标，而且轴上的点的坐标包含零，因此给后续运算带来了便利。牙齿问题可以把条件的垂直关系“

12、AB平面BB1C1C”作为建立的突破口。3.使用面垂直关系示例3图1，等腰梯形ABCD中的AD-BC、AB=AD=2、ABC=60、E是BC的重点。沿AE折叠ABE以创建平面BAE平面AEC。移除AE中点m，连接BM、DM。在等腰梯形ADBCD中，AD是BC，AB=AD，ABC=60，E是BC的中点。所以ABE和ADE都是等边三角形。所以BM AE、DM AE。平面BAE平面AEC，所以BM MD以m为原点，以X、Y、Z轴为轴，每个轴有ME、MD、MB。设定空间直角座标系统Mxyz，如下所示：E (1，0，0)、b (0，0，)、c (2，0)、d (0，0)、所以=(2，0，0)，=(0，-

13、)，将平面BCD的法线向量设置为m=(x，y，z)。Y=1，m=(0，1，1)，另外，由于平面ABE的法向矢量=(0，0)，因此所以cos =，所以平面ABE和平面BCD的锐角是45 .解决牙齿问题的关键是利用面垂直关系，首先证明两个平面内同一点的三线垂直，构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法线向量，求出两个法线向量角度的余弦，得到由所需两个平面组成的锐角的大小。使用用法向量的角度求二面角时，要注意平面的法线向量有两个相反的方向，方向不同的话角度也不同。用四向量法研究“动态”三维几何问题“动态”立体几何问题在静态几何问题上渗透“动态”点、线、面等因素的同时，由于“动态”的存在，问题处理

14、趋于灵活。牙齿文件介绍了巧妙解决“动态”立体几何问题的法谱3354矢量法，并介绍了如何进行静态制动。1.问题解决，证明范例1。在具有a的正方形OABC-O 1A 1B 1C 1中，E，F分别是AB，BC的运动点，AE=BF，验证：A1FC1E。使用o作为坐标原点，证明设置了空间正交坐标系，如图所示。然后是A1(a，0，a)，C1(0，a，a)。设置Ae=BF=x。-e(a，x，0)，f (a-x，a，0)。=(-x，a，-a)、=(a，x-a，-a)。=(-x，a，-a) (a，x-a，-a)=-ax ax-a2 a2=0，也就是A1F C1E。2.市场定位问题如范例2所示，已知四边形ABCD

15、、CDGF、ADGE为正方形，边长为1。DG中有点M牙齿，因此线MB和平面BEF之间的角度是45吗？如果存在，请寻找点m的位置。如果不存在，请说明原因。问题解决提示假定存在点M牙齿，假设平面BEF的法向矢量设置为N，BM和平面BEF的角度设置为，使用sin =求出点M的坐标，如果条件满足，则假定存在。解法是因为四边形CDGF，ADGE都是正方形。所以GDda，GDDC。da DC=d，所以GD平面ABCD。DA是DC，因此DA、DG、DC与徐璐垂直，如图所示。以d为原点设定空间直角座标系统。B (1，1，0)、e (1，0，1)、f (0，1，1)。因为位于点m牙齿DG中，所以假设存在点M (

16、0，0，t)(0t1)使线性BM和平面BEF之间的角度为45。将平面BEF的法线向量设定为n=(x，y，z)。因为=(0，-1，1)，=(-1，0，1)，即使Z=1且x=y=1，因此，n=(1，1，1)是平面BEF的法线向量。此外，=(-1，-1，t)，线BM和平面BEF的角度为45，因此sin45=、T=-43。又求解了0t1。所以t=3-4。因此，如果DG中有点m (0，0，3-4)牙齿，DM=3-4，则线MB与平面BEF的角度为45。评论在立体几何问题中，由于“动态”性的存在，部分问题的结果变得不确定，此时我们必须保持不变，抓住问题的本质，引入参数，利用空间的垂直关系和数量积对几何问题进行代数化，以达到静态制动的效果。5向量和三维几何的数学思考1.数形结合思想向量法是解决问题的重要方法。坐标是研究矢量问题的有效工具。利用空