2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何专题限时集训10立体几何中的向量方法理

1、主题限时集训(10 )立体几何中的矢量方法(对应学生用书第97页)(限时： 40分钟)问题型一矢量法求线面角1求问题型二矢量法二面角二，四用题型三空间向量解探索性问题31.(2017郑州二型)如图109所示，在三角柱ABCA1B1C1中，各棱长全部相等. d、e、f分别是棱AB、BC、A1C1的中点。图109(1)证明： EF平面A1CD；(2)三角柱ABCA1B1C1为垂直角柱，求出直线BC与平面A1CD所成的角的正弦值.(1)在三角柱ABCA1B1C1中，在ACa1c 1且AC=A1C1下连接ED，在ABC中，d、e分别为棱AB、BC的中点此外，由于f是A1C1的中点，所以可获得A1F=A

2、1C1，从而可获得A1FDE、A1F=DE、因此，由于四边形A1FED是平行四边形，所以EFA1D，此外，ef平面A1CD、a1d平面A1CD，所以EF平面A1CD。(2)法1:(几何法)因为底面ABC是正三角形，d是AB的中点，所以是CDAB，再有因为AA1CD、AA1AB=A，所以是CD平面A1ABB1。如图所示，在平面A1ABB1内，如果把通过点b的点b作为BGA1D，把交直线A1D作为点g，并把CG连接起来，则成为BG平面A1CD，BCG是直线BC和平面A1CD所成的角。设三角柱棱的长度为a，则得到A1D=、A1ADBGD。BG=、在RtBCG中，sinBCG=。因此，直线BC与平面A

3、1CD所成角的正弦值为.法2 :由于把(矢量法) A1B1的中点设为o，连接OC1、OD的三角柱ABCA1B1C1是垂直角柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1、ODOA1.再者将o作为坐标原点、的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，制作图所示那样的空间直角坐标系Oxyz .设三角柱的棱锥长度为a，则为o (0，0，0 )、b，c、A1、D(0、a、0 ) .所以=、=。设平面A1CD的法向量为n=(x，y，z )，得到。设定x=2，解n=(2，1，0 )。设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin =。因此，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2.(2017合肥两型)如图101

4、0(1)所示，在矩形ABCD中，AB=1、AD=2、点e在AD的中点，沿BE将ABE向上折到PBE，如图2所示图1010(1)图1010(2)(1)征求证据： BPCE；(2)求出二面角BPCD的余弦值【导学编号：】解 (1)证明：由于点p向平面BCDE的投影o落在BE上，所以平面PBE平面BCDE容易理解BECE，所以CE平面PBE、bp平面PBE，所以PBCE。(2)若将o设为坐标原点，将通过点o并与CD平行的直线设为x轴，将通过点o并与BC平行的直线设为y轴，将直线PO设为z轴，制作图所示的空间直角坐标系，则成为b、c、d、p .所以=(-1，0，0 )、=、=、=、=(0，2，0 )。

5、设平面PCD的法向量为n1=(x1，y1，z1 )，即，z1=、得到的n1=。设平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2 )，然后，即，z2=、得到n2=(2，0，)。所以cosn1，n2=。考虑到二面角BPCD为钝角，则其馀弦值为-；3.(2017郑州三型)如图1011所示，在四边形ABCD中，abCD、BCD=、四边形ACFE是矩形，且CF平面ABCD、AD=CD=BC=CF图1011(1)求证： EF平面BCF；(2)点m在线段EF上移动，当点m位于哪个位置时，平面MAB和平面FCB形成的尖溜溜二面角最大，求出此时的二面角的佟弦值。证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，AB

6、CD、BCD=、AB=2、AC2=ab2BC2-2abbcc操作系统=3。AB2=AC2 BC2，BCAC。cf平面ABCD、ac平面ABCD，ACCF、CFBC=C，AC平面BCF。四边形ACFE是矩形、ac、EF平面BCF。根据(2)式(1)可知，将CA、CB、CF所成的直线分别设为x轴、y轴、z轴，制作图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，设fm=(-，1，0 )，=(，- 1，1 )，设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z )，也就是说假设x=1，则n1=(1，-)是平面MAB的法向量。易知n2=(1，0，0 )是平面FCB的法向量，将平面MAB与平面FCB所成的尖溜

7、溜二面角设为，cos =。当0、=0时，cos 有最小值，当点m和点f重叠时，平面MAB和平面FCB所成的尖溜溜二面角最大此时的二面角的侑弦值是4.(2017河北石家庄二型)如图1012所示，在三角柱ABCDEF中，侧面ABED是边的长度为2的菱形，Abe=、BC=.四角锥FABED的体积为2，点f在平面ABED内的正投影为点g图1012(1)证明：直线GM平面DEF；(2)求出二面角MABF的佟弦值【导学编号：】(1)证明：由于四角锥FABED的体积为2，所以VFABED=22FG=2，FG=。另外因为BC=EF=所以EG=、容易理解AE=2，点g是接近AE的点a的四等分点。当通过点g将GKAD交点DE设为点k并且连接FK时，GK=AD=CF。另外因为MF=CF所以MF=GK，另外因为MFGK，四边形MFKG是平行四边形gmFK、fk平面DEF、GM平面DEF，所以直线GM平面DEF。(2)连接BD，把AE，BD的升交点作为o，有OE的直线作为x轴，有OE的直线作为y轴，通过点o的平面ABED的垂线作为z轴，作成空间直角坐标系。A(0，- 1，0 )，b (，0，0 )，f，m、=(-、-1、