2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

1、4.4函数y=asin ( x )的图像及其应用最新教学大纲测试情况和测试方向分析1.理解函数y=asin ( x )的物理意义；它可以画出y=asin ( x )的图像。2.了解参数a、和对函数图像变化的影响。3.我将用三角函数来解决一些简单的实际问题，并认识到三角函数是描述周期变化的一个重要的函数模型。检查函数y=asin ( x )图像的五点作图法、图像间的平移和展开变换、从图像中寻找分辨率函数、用正弦函数解决实际问题是主要方法，常结合三角函数和三角恒等式变换的性质，以增强数形结合思想的应用意识。这些问题是选择题和填空题，难度中等。1.y=asin ( x )的相关概念y=Asin(x+

2、)(A0，0)，xR振幅循环频率阶段世AT=f=x+2.用五点法画一个周期内Y=Asin ( x ) (A0，0，xR)的草图时，应找出五个特征点如下表所示：xx+0Pi？2y=Asin(x+)0A0-一个03.通过变换函数y=sin x的图像，得到y=asin ( x ) (A0，0)图像的两种方法。知识发展1.函数y=asin ( x ) k的图像平移法则：“左加右减，上加下减”。2.从y=sin x到y=sin ( x ) ( 0，0)的转换：向左移动单位长度，而不是单位长度。3.函数y=asin ( x )的对称轴由 x =k，kZ决定；对称中心的横坐标由 x =k，kZ确定.问题群一

3、思维分析1.判断以下结论是否正确(请在括号内打或“？”(1)通过将y=sin的图像向右移动一个单位长度来获得y=sin的图像。()(2)将函数y=sin x的图像向右移动(0)单位长度，以获得函数y=sin ( x-)的图像。()(3)如果函数y=acos ( x )的最小正周期为t，则函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为。()(4)当从图像获得分辨率函数时，振幅由图像中在一个周期内的最高点和最低点的值确定。()第二组问题的教材改编2.p55t2为了得到函数y=2sin的图像，函数y=2sin的图像2x()A.向右平移单位长度B.向右平移单位长度C.向左平移单位长度D.向左平移单位长度回答一

4、3.P58A组T3函数y=2 sin的振幅、频率和初始相位为()A.2，4，B.2，C2，-D2，4，-答案三分析表明a=2，f=，初始相位为-。4.P62例4如图所示，某一地点每天6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=asin ( x ) b，则该曲线的解析函数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是y=10分20秒，x6，14从图中可以看出，从6到14，它是一个函数Y=的半周期( x )。所以a=(30-10)=10，b=(30+10)=20，并且=14-6，因此=。10 =2 2k，kZ，=，因此，y=10分20秒，x6，14。问题集三很容易改正5.要获得

5、函数y=sin的图像，只需将函数y=sin4x的图像放在()A.向左平移单位长度C.向左平移一个单位长度回答乙分辨率y=sin=sin，要得到y=sin的图像，只需将函数y=sin4x的图像向右移动单位长度。6.(2016年国家一级)将函数Y=2sin的图像向右移动一个周期后，得到的图像对应的函数为()A.y=英寸B.y=英寸C.y=分钟D.y=分钟答案D解析函数y=2sin的周期为，函数y=2sin的图像向右移动一个周期，即一个单位长度。得到的函数是y=2sin=2sin，因此，d .7.(长春仿真，2018)如果函数f(x)=asin ( x ) (a 0， 0，| | )的部分图像如图所

6、示，则函数f(x)的解析表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案f (x)=sin分析表明，=-=，所以t=，所以=2，因此，f (x)=sin (2x )，这也是最小点，因此，2 =2k，kZ，因此，=2k，kZ，和| | ，所以=。因此，f (x)=sin。函数y=asin ( x )的映象和变换典型示例显示函数y=2sin。(1)找出它的振幅、周期和初始相位；(2)用“五点法”使其形象处于一个循环之中；(3)解释如何从y=sinx的图像转换y=2sin的图像。解(1)y=2的振幅是a

7、=2，周期t=，初始相位=。(2)让x=2x，然后y=2sin=2sin x列表如下：x-X0Pi？2y=sin X010-10y=分钟020-20绘制图像，如图所示：(3)方法：将Y=sin x图像上的所有点向左平移一个单位长度，得到Y=sin图像；然后将y=sin图像上所有点的横坐标缩短到原始时间(纵坐标不变)，得到y=sin图像；最后将y=sin上所有点的纵坐标扩展到原来的两倍(横坐标不变)，得到y=2sin的图像。方法2将y=sin x图像上所有点的横坐标缩短到原来的两倍(纵坐标不变)，得到y=sin 2x图像；然后将y=sin 2x的图像向左平移一个单位长度，以获得y=sin=sin

8、的图像；然后，将y=sin图像上所有点的纵坐标扩展到原来的两倍(横坐标不变)，得到y=2sin图像。思维升华(1)用“五点法”可以得到y=asin ( x )的图像，用变量代替z= x 可以计算出五点坐标。(2)从函数Y=sin x的图像中通过变换得到Y=Asin ( x )图像有两种方法：“先平移后展开”和“先展开后平移”。跟踪训练(1)(石家庄调查，2018年)如果函数y=sin的图像向左平移一个单位长度，则获得的图像与函数y=cos x的图像一致，则的可能值为()公元前2年回答一y=sin和函数y=cos x的解析图像重合，并且可以得到-=2k，kZ，那么=6k 2，kZ.2是的可能值。

9、(2)将函数y=sin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，保持纵坐标不变，然后将得到的函数图像向左移动一个单位长度，得到的函数图像的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是y=cos 2x图像y=sin x上所有点的横坐标被缩小到原来的一半，纵坐标保持不变。获得的图像的解析公式为y=sin 2x，然后将其向左平移单位长度，得到y=sin 2，即y=cos 2x。第二个问题是根据图像确定y=asin ( x )的解析公式典型示例(1)如果函数y=asin ( x )的部分图像如图所示，则y=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答2分钟解析上，我们可以看到a=2，

10、t=2=，所以=2，我们可以看到2 =，所以=-，所以函数的解析表达式是y=2sin。(2)假设图中显示了函数f (x)=sin ( x )的部分图像，则x的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _回答根据给定的图像，周期t=4=，所以=， =2，所以f (x)=sin (2x )。另外，当图像通过一个点时，2 = 2k (k z)被替换，然后=-通过| |得到。思维升华y=asin ( x )中的确定方法(1)替换方法：替换图

11、像上的一个已知点(此时，注意该点是在上升区间还是下降区间)，或者替换图像的最高点或最低点。(2)五点法：在确定值时，突破往往是在“五点法”中找到特殊点。跟踪训练(2018年石家庄质检)显示，部分图像的函数f(x)=asin ( x ) b如图所示。在将函数f (x)的图像向左移动m(m0)个单位之后，得到函数g(x)的图像关于该点对称，因此m的值可以是()A.B.C.D.答案D根据问题的意思分析解决方案=-=，因此，如果=2，则f (x)=sin (2x )。f=sin=，因此，=2k (k z)，即=2k (k z)。因为| |，=，所以f (x)=sin。将函数f(x)的图像向左平移m个单

12、位长度，得到g(x)=sin的图像，函数g(x)的图像关于点对称，即h (x)=sin的图像关于点对称，因此sin=0，即2m=k (k z)，因此m=-(k )三个三角函数图像性质的应用命题点1的三角函数模型如典型实例所示，港口每天6: 00至18: 00的水深曲线近似满足函数y=3sin k。根据该函数，该时段的最大水深值(单位：m)为()A.5 B.6 C.8 D.10答案三如果ymin=k-3=2，那么k=5。ymax=k+3=8.命题点2函数的零点(方程根)问题作为一个典型的例子，已知方程2s2x-sin2x m-1在x上=0有两个不同的实数根，所以m的取值范围是_ _ _ _ _

13、_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(-2，-1)解析公式2 sin2x-sin2x m-1=0可转换为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin，x。假设2x=t，那么t，标题条件可以转换为=sin t，并且t有两个不同的实数根。 y1=和y2=sin t，t的图像有两个不同的交点，如图所示：根据图像观察，的值范围是，因此，m的范围是(-2，-1)。扩展查询在本例中，如果将“有两个不同的实根”改为“有实根”，则m的值范围为_ _ _ _ _ _ _ _。回答-2，1根据上面的示例，的值范围是，-2m1，m的值范围是-2，1。命题3点三角函数图像性质的综合典型

14、示例(潍坊模拟2017)知道函数f (x)=sin ( 0)的图像与x轴的两个相邻交点之间的距离为。(1)求出函数f(x)的解析表达式；(2)如果f(x)的图像向左平移m(m0)个单位，函数g(x)的图像正好通过该点，当m取最小值时，得到g(x)在地面上的单调递增区间。在解(1)中，函数f(x)的图像与x轴的两个相邻交点之间的距离为，函数f(x)的最小正周期为t=2=，=1。因此，函数f(x)的解析表达式是f (x)=sin。(2)将f(x)的图像向左移动m(m0)个单位长度，以获得具有函数g(x)=sin=sin的图像，根据该函数，g(x)的图像正好通过一个点，可以得到sin=0，即sin=

15、0，因此，2m-=k (k z)，m=(k z)，因为m0，因此，当k=0时，m得到最小值，最小值为。此时，g (x)=sin。因为x，2x。当2x，即x，G(x)单调增加。当2x，即x，G(x)单调增加。总而言之，g(x)的单调递增区间是和。思维的升华(1)三角函数模型的应用体现在两个方面：一是已知函数模型解决数学问题；其次，将实际问题抽象地转化为数学问题，利用三角函数的相关知识来解决问题。(2)方程根的个数可以转化为两个函数图像的交集的个数。(3)在研究y=asin ( x )的性质时， x 可以看作一个整体，代换法和数形结合法可以用来解决问题。跟踪训练(1)(兰州模拟2018)已知函数f

16、(x)=sin ( x )图像上两个相邻最高点与最低点的距离为2，函数f(x)的解析表达式为_ _ _ _。答案f (x)=sin根据分析可知，两个相邻的最高点和最低点之间的距离为2，可以得到为=2，解为t=4。因此，=，即f (x)=sin。函数图像穿过该点，因此，f (2)=sin=-sin=-，和- 时，解是=，所以f (x)=sin。(2)如果函数f(x)=sin ( 0)满足f (0)=f，并且函数上只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答解析地，f (0)=f， x=是f(x)像的对称轴， f=1， =k，kZ，=6k+2,kZ,T=(kZ).f(x)只有一个零点，-,T，(kZ),-k，和kz， k=0， t=。三角函数图像的合成及性质典型示例(12点)显示函数f(x)=2-sin(x)。(1)寻找f(x)的最小正周期；(2)如果f(x)的图像向右平移一个单位长度，则获得函数g(x)的图像，并且函数g(x)的最大值和最小值在区间(2)在f(x)的解析公式中，用x-代替x，得到g(x ),然后利用整