2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 文

1、2.3函数的奇性和周期性整理知识1 .函数的奇数性(1)定义：通常，对于函数f(x )的定义域中的任何x，如果f(-x)=f(x )，则f(x )被称为偶函数。 通常，对于函数f(x )的定义域内的任何x，如果f(-x)=-f(x )，则f(x )被称为奇函数。(2)奇偶校验函数的性质奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于y轴对称如果奇函数在关于坐标原点对称的区间有单调性，则该单调性相同，如果偶函数在关于坐标原点对称的区间有单调性，则该单调性相反2 .函数奇数性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x )由x=0定义，即f(0)有意义，则必须有f(0)=0。(2)如果函数f(x )是偶

2、函数，则f(x)=f(|x|)。(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)=0，x-d，其中定义域d是关于原点对称的非空数定径套(4)奇函数在2个对称区间具有相同单调性的偶函数在2个对称区间具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间中具有相同的最大(小)值，取最大值时的自变量相互为倒数，在关于奇函数原点对称的区间中的最大值相互为倒数，取最大值时的自变量也相互为倒数3 .对称性的三个常用结论(1)如果函数y=f(x a )是偶函数，即f(a-x)=f(a x )，则函数y=f(x )的图像关于直线x=a是对称的。(2)如果f(2a-x)=f(x )或f(-x)=f(2a x

3、)对于r上的任何x，那么y=f(x )的图像关于直线x=a是对称的。(3)如果函数y=f(x b )是奇函数，即f(-x b) f(x b)=0，则函数y=f(x )关于点(b )。4 .函数周期性定义：通常，对于函数f(x )，如果存在非零实数t，那么函数f(x )就被称为周期函数，如同当x取定义域中的所有值时存在f(x T)=f(x )一样5 .函数循环的常见结论设函数y=f(x )，x-r，a0。如果(1)f(x a)=f(xa )，则函数的周期为2a。如果(f(x a)=-f(x )，则函数的周期为2a。如果(f(x a)=的话，函数的周期是2a。如果(f(x a)=-的话，函数的周期

4、是2a。(5)如果函数f(x )关于直线x=a与x=b对称，则函数f(x )的周期为2|b-a|；(6)如果函数f(x )关于点(a，0 )对称，并且关于点(b，0 )对称，则函数f(x )的周期是2|b-a|；(7)如果函数f(x )关于直线x=a对称，并且关于点(b，0 )对称，则函数f(x )的周期是4|b-a|；(8)若函数f(x )为偶函数，且该图像关于直线x=a对称，则该周期为2a。(9)如果函数f(x )是奇函数，且该图像关于直线x=a对称，则该周期是4a .6 .掌握一些重要类型的奇偶校验函数(1)函数f(x)=ax a-x是偶函数，而函数f(x)=ax-a-x是奇函数。(2)

5、函数f(x)=(a0且a1 )为奇函数。(3)函数f(x)=loga是一个奇函数。(4)函数f(x)=loga(x )是奇函数。诊断自检1 .概念思识(1)偶函数的图像不一定超过原点，奇函数的图像不一定超过原点。(2)已知函数y=f(x )是被r定义的偶函数，在(-，0 )是减函数，在(0，)是增函数。在函数y=f(x a )是偶函数的情况下，函数y=f(x )的图像关于直线x=a是对称的。(4)如果函数y=f(x b )是奇函数，则函数y=f(x )的图像关于点(b，0 )的中心是对称的。回答(1) (2)(3)。2 .教材的分化(1) (必修A1P39A组T6)已知函数f(x )是奇函数，

6、在x0的情况下，f(x)=x2，f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2战斗机答案a选择分析f(-1)=-f(1)=-=-2。(2)若将(必修A1P39B组t3)f(x )设为奇函数，且在(-，0 )内为减函数，f(-2)=0，则xf(x)0的解集合为()a.(-1，0 ) 2，) b.(-2) 0，2C.(-、-2)(2，) d.(-2，0 )0(0，2 )答案c解析f(x )是奇函数，在(-，0 )内单调减少，f(x )在(0，)内也单调减少，另外f(-2)=0，f(2)=0，函数f(x )的大致图像如右图所示xf(x)0的解集以(-、-2)(2，)选择了c。用小题目暖身(1)(2015

7、全国卷I )函数f(x)=xln (x )如果是偶函数，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案1分析是已知的f(-x)=f(x )，即-xln (-x)=xln (x )，并且ln (x ) ln (-x)=0。得到了ln ()2-x2=0、ln a=0、a=1。已知在(2)(2018山西四校联考) r中定义的函数f(x )满足f(x)=-f，并且如果f(2)=3，则f(2018)=_ .答案3解析f(x)=-f，f(x 3)=f=-f=f(x )。f(x )是以3为周期的周期函数。f(2018)=f(6723

8、 2)=f(2)=3。问题型1函数奇性的判断确定以下函数的奇偶校验1)f(x)=(1-x ) :2)f(x)=3)f(x)=。使用定义法、性质法由于解(1)仅在0时函数才具有意义，所以-1x1是定义域相对于原点不对称因此，函数f(x )是非奇非偶函数的(2)函数的定义域为x|x0，关于原点为对称，x0表示-x0，f(-x)=x2-2x-1=-f(x )，对于x0，-x0，f(-x)=-x2-2x 1=-f(x )。f(-x)=-f(x )，即函数f(x )是奇函数。(3)解法1 :原因由于-2x2并且x0，所以，函数的定义域关于原点对称。f(x)=，此外，f(-x)=-、f(-x)=-f(x

9、)，即函数f(x )是奇函数。解法2 :求函数f(x )的定义域是-2，0 0，2。如果将简并性函数f(x )进行化，则f(x)=、y1=x是奇函数，y2=是偶函数，得到的f(x)=奇函数。方法技巧判断函数奇数性的方法1 .定义方法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：=1(f(x)0 )判断函数的偶性2 .图像法：利用函数图像的对称性判断函数的奇数性3 .验证法：即判断f(x)f(-x )是否为0。4 .性质法：设f(x )、g(x )的定义域分别为D1、D2时，对于它们的共同定义域，有如下结论。冲关适合训练1.(2018广东模拟)以下函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A.y=B.y

10、=xC.y=2x D.y=x ex答案d解析容易度y=和y=2x是偶函数，y=x是奇函数。2 .确定以下函数的奇偶性1)f(x)=；2)f(x)=得到的函数的定义域是(-1，0 )(0，1 )，所以f(x)=-。因为f(-x)=-=-=f(x )，所以f(x )是一个偶函数。(2)x0时，-x0时f(-x)=-(-x)2-x=-(x2 x)=-f(x )。在x0的情况下，-x0，f(-x)=(-x)2-x=-(-x2 x)=-f(x )。另外，因为f(0)=0，所以对于任意的x(-，)，都有f(-x)=-f(x )，f(x )是奇函数。问题型二函数奇性的应用角度1已知函数奇偶校验评估已知(20

11、18湖南质量检验) f(x )，其中，g(x )分别是在r中定义的偶函数和奇函数，如果f(x)-g(x)=x3 x2 1，则为f(1)A.-3B.-1C.1D.3战斗机本问题使用转换法将f(x)-g(x )转换为f(x)-g(x )。答案c分析- f (x )-g (x )=x3x21，f(-x)-g(-x)=-x3 x2 1，从问题的意思可以看出来求角度2已知函数的奇性解析式对函数y=f(x)(xR )进行偶函数整并且取x-r，并且在满足f=f的情况下，对于x-2，3，f(x)=x，则取x。A.|x 4|B.|2-x|C.2 |x 1|D.3-|x 1|利用函数周期性耦合奇性变换求解答案d由

12、于分析x-r满足f=f、f(x 2)=f(x )，所以y=f (x ) (x-r )是周期2的函数。角度3已知函数求奇数性残奥表(2017安徽蚌埠二型)函数f(x)=奇函数的话，实数a=_ _ _ _ _ _ .根据f(x) f(-x)=0，可以用保留系数法解决，本问题也可以利用代入法。答案-2解析解法1 :函数的定义域是x|x0、f(x)=x a 2。因为函数f(x )是奇函数，所以f(-x)=-f(x )、即，-x- a 2=-=-x-(a 2)，a 2=-(a 2)，即，如果a 2=0，则a=-解法2 :从题意中得知f(1)=-f(-1 )，即3(a 1)=a-1，得到a=-2。如果将a

13、=-2代入f(x )的关解析式字，则验证f(x)=、任何x(-、0)(0，)满足f(x )角度四函数性质的综合应用在(2017合肥三型) r中定义的函数y=f(x )在(-，a )中是增函数，函数y=f(x a )是偶函数，是x1a，|x1-a一个f，两个f，一个f，两个f由于可获得C.f(x1)0向右移位的函数y=f(x )的图像，所以函数y=f(x )的图像对于直线x=a对称，并且在此，函数y=f(x )表示等于(a， )方法技巧1 .使用函数的奇数转变函数值的方法将求出的函数值以f(-x)=f(x )或f(-x)=-f(x )转换为已知区间上的函数值来求出。2 .利用函数的奇数性求解析式

14、的策略将求出区间上的参数变换为已知区间，利用奇偶校验求出，或者活用奇偶校验结构的与f(x )有关的方程式(组)，从而得到f(x )的解析式.3 .使用函数的奇数性来获得解析式中的残奥仪表值的方法用未定系数法求解，从f(x)f(-x)=0得到与包含要求出的残奥参数的x相关的常数式，从恒等性得到满足要求出的残奥参数的方程式(组)并求解.4 .函数性质综合应用题的常见类型和解题策略(1)函数单调性和奇数性的结合.函数单调性和奇数性的定义，以及奇数、双位数函数图像的对称性的留心(2)周期性和奇数性结合。这样的问题在很多情况下，调查评价问题，利用奇数性和周期性进行转换，将求出的函数值的自变量转换为已知解

15、析式的函数定义域来解决(3)周期性、奇数性和单调性的结合。为了解决这样的问题，通常是利用周期性来变换有自变量的区间，然后利用奇数性和单调性来解决冲关适合训练1.(2017河南模拟)已知的f(x )是定义为r的奇函数，x0时f(x)=3x m(m为常数)，f(-log35 )的值为()A.4B.-4C.6D.-6答案b解析f(x )是在r中定义的奇函数，并且在x0的情况下，f(x)=3x m。f(0)=0，即m=-1。f(x)=3x-1(x0 )。选择f (-log 35 )=-f (log 35 )=-(3log 35-1 )=-(5-1)=-4.b2 .已知的f(x )是在r上定义的奇函数，在x0的情况下，f(x)=x2 2x，在f(2-a2)f(a )的情况下，实数a的取值的范围为()a.(-1)(2，) b.(-1，2，2 )c.(-2，1 ) d.(-、-2)(1，)答案c当解析- f(x )为奇函数、x0时，f(x)=-x2 2x .作成函数f(x )的概略图如图中实线所示，可知耦合图是f(x )为r以上的增函数，f (x )为r以上的增函数。A.-2B.-1C.0D.2战斗机本问题综合求解奇数性、周期性答案d在分析为x的情况下，