2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算学案 文

1、2.10导函数的概念和运算整理知识1 .变化率和导函数(一)平均变化率(2)导函数2 .导函数的运算诊断自检1 .概念思识(1)f(x0)与(f (x0) ) 表示的意思相同。(2) f(x0)是函数y=f(x )在x=x0附近的平均变化率。(3)曲线和共同点只有一条的直线必定是曲线的切线。(4)曲线y=f(x )在点P(x0，y0)处的切线与通过点P(x0，y0)的切线相同。答案(1)、(2)、(3)、(4)2 .教材的分化(1)如果函数f(x)=2x2-1在图像上的一个点(1，1 )和相邻的一个点(1x，1y )，则等于()A.4 B.4x机动战士c.4二十二点四十二点二十二点二答案c分析

2、y=(1y )-1=f (1x )-f (1)=2(1x )2-1=2(x ) 2因此，我选择c。(2) (选择A1-1P85T7)f(x)=cosx的切线的倾斜角下面是什么？答案分析f (x )=(cosx )=-sinx，f=-1，因为tan=-1所以=。用小题目暖身(1)(2017湖北百所重点高中联合考试)如果已知函数f(x 1)=的话，曲线y=f(x )的点(1，f(1) )处的切线斜率为()A.1 B.-1 C.2 D.-2答案a分析f(x 1)=因此，如果求出f(x)=即导出f(x)=2-、f(x )的f(x )=的话，则f(1)=1(2)(2017太原模拟)函数f(x)=xex在

3、图像的点(1，f(1) )处的切线方程式为答案是y=2ex-e分析f(x)=xex，f(1)=e，f(x )=ex xex，在图像的点(1，f(1) )处的切线方程式是y-e=2e(x-1 )，即y=2ex-e题型1导函数的定义与应用已知函数f(x)=1的值是()A.- B. C. D.0用定义法答案a解析由导函数定义=-=-f(1)，f(1)=。所以选a。如果已知的f(2)=2，f(2)=3，则1的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4用定义法答案c如果设解析令x-2=x、x=2 x，则原式为选择1=f(2) 1=3.c。方法技巧定义求导函数的方法和解问题的思维方法1 .在导函数定义中，x在

4、x0 (x=0)处的增量是相对的、既可以是x，也可以是2x。 解题时必须统一分子、分母中的增量。2 .导函数定义=f(x0)表示=f(x0)。3 .求在函数y=f(x )的x=x0处的导函数的求解步骤。冲关适合训练在导函数的定义中求出函数y=x=1时的导函数解记f(x)=、我的意思是，y=f(1 x)-f(1)=-1=、=-，=-.y|x=1=-。问题型2导函数的订正求以下函数的导函数1)y=(x 1)(x 2)(x 3)。y=；(3)y=-sin。解(1)解法1:y=(x2 3x 2)(x 3)=x3 6x2 11x 6，y=3x212 x 11。解法2:y = (x1) (x2) (x3)

5、 (x1) (x2) (x3) =(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)=(x 2 x 1)(x 3) (x 1)(x 2)=(2x 3)(x 3) (x 1)(x 2)=3x2 12x 11。方法技巧修正导函数的原则和方法1 .原则：简化简单解析式，使其成为8个导出式可导出的函数之和、差、积、商，然后求导出2 .方法(1)连积形式：展开为多项式的形式后，求出导数，参照典型例(1)(2)分式形式：观察函数的结构特征，首先做成整式函数或比较简单的分式函数，然后求出导数，参照典型示例(2)(3)对数形式：形成和、差的形式后求导(4)根式形式：分数指数的幂形式，然

6、后求导数(5)三角形式：利用三角函数式转换为和或差的形式，然后求出导数，参照典型例(3)冲关适合训练如果函数f(x )的导函数f(x )是已知的，并且满足f (x )=2xf(1) lnx，则f(1)=()A.-e B.-1 C.1 D.e答案b解析f(x)=2xf(1) lnx，f (x )=2xf (1) =2f (1)，选择f(1)=2f(1) 1，即f(1)=-1.b。2 .求以下函数的导函数1)y=(1) :(2)y=cos。解(1)y=- -1=-x x，y =-(x )(x )。=-x-x=-。(2)y=cos=-sin2x=-2sinxcosx。y =-2 cos2x2sin2

7、x=-2 (cos2x-sin2x )=-2 cos2x问题型三曲线的切线问题求角度1曲线的切线方程式在(2017全国卷I )曲线y=x2的点(1，2 )的切线方程式是求出通知接点(x0，y0)的导函数f(x0)=k即可。答案是x-y 1=0分析- y=2x -，|y| x=1=1，即，点(1，2 )处曲线的切线的斜率k=1切线方程式为y-2=x-1，即，x-y 1=0。求角度2接点坐标(多维搜索)(2017石家庄模拟)曲线y=xln x上的点p处的切线与直线2x-y 1=0平行，点p的坐标为_。利用方程式的思维方法回答(e，e )如果将解析设为P(x0，y0)，则y=xln x的关导函数字y

8、=lnx 1从题意ln x0 1=2中求出x0=e，容易求出y0=e。条件探索典型例中，试着求出与曲线y=xln x上的直线y=-x平行的切线方程式。之所以将接点设为(x0，y0)，是因为y=lnx 1，切线的斜率k=ln x0 1，从题意得知k=-1，x0=，y0=-，求出的切线方程式y=-，即e2x e2y 1=0。关于角度三切线的残奥仪表问题如果知道在(2015全国卷ii )点(1，1 )处的曲线y=x ln x的切线与曲线y=ax2 (a 2)x 1相切，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

9、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _利用方程式的思想答案8分析解法f(x)=x ln x，f(x )=1，f(1)=2，另外f(1)=1，曲线y=x，y| x=x0=2ax0a2=2，a(2x0 1)=0，a=0或x0=-，ax (a 2)解法2 :设f(x)=x lnx，f(x)=x lnx为f(x )=1，f(1)=2，曲线y=x方法技巧与导函数几何意义相关的问题的一般类型及解问题策略1 .求切线方程式：注意区别在曲线的某点的切线和通过曲线的某点的切线，在曲线y=f(x )的点P(x0，f(x0) )的切线方程

10、式是y-f(x0)=f(x0在求某点M(x1，y1)的切线方程式时，求切点A(x0，y1)的切线方程式2 .已知切线方程(或斜率)来确定切点的一般思维方法是：在确定函数的导函数之后，将导函数等于切线斜率来确定切点的横坐标，并将横轴代入函数解析式来确定切点的纵坐标3 .从导函数的几何意义求残奥表的值时，一般利用切点P(x0，y0 )在曲线上和切线上都建立方程式来求解注意：在求出曲线y=f(x )的过点P(x0，y0)的切线方程式时，点P(x0，y0)不一定是切点。冲关适合训练1.(2017陕西五校联合试验)已知的直线y=-x m是曲线y=x2-3ln x的切线，m的值是()A.0 B.2 C.1

11、 D.3答案b因为分析直线y=-x m是曲线y=x2-3ln x的切线，所以设y=2x-=-1，x=1或x=-(舍)，即切点为(1，1 )。2 .已知的曲线y=x3。(1)求出点p (2，4 )的曲线的切线方程式(2)求出曲线的过点p (2，4 )的切线方程式(3)求斜率为1的曲线的切线方程式解(1)y=x2，k=y| x=2=4，曲线在点p (2，4 )的切线方程式是4x-y-4=0。(2)如果曲线和过点p (2，4 )的切线与点a相切，则k=y| x=x0=x。切线方程式是y=xx-x。另外p (2，4 )在切线上，4=2x-x，即，x-3x 4=0。x x-4x 4=0，(x0 1)(x

12、0-2)2=0，x0=-1，x0=2。求出的切线是4x-y-4=0或者x-y 2=0。(3)若将接点设为(x0，y0)，则k=x=1，接点为(-1，1 )，求出的切线方程式是3x-3y 2=0和x-y 2=0。题型四导函数几何意义的应用如果对于(2017资阳期末) x0，)不等式2axex-1始终成立，则实数a的最大值为()A. B. C.1 D.2尺数形结合答案a解析对x0，)、不等式2axex-1始终成立，y=2ax，y=ex-1，其中x0。将在同一坐标系上描绘的函数y=2ax和y=ex-1的图像设为图示的y=ex、x=0、k=e0=1。曲线y=ex-1的过点o (0，0 )的切线斜率是k

13、=1。从题意到2a1，从解到a，a的最大值是.所以选择了a。已知函数f(x)=x3 x2，数列xn(xn0)的各项满足曲线y=f(x )的在(xn 1，f(xn 1) )处的切线求证：在nN*的情况下，x xn=3x 2xn 1。尺导函数证明y=f(x )在(xn 1，f(xn 1) )处的切线斜率是f(xn1)=3x2xn 1，经过(0，0 )。x xn=3x 2xn 1。方法技巧这种问题需要注意导函数与切向梯度的对应关系k=f(x0 )，将数形结合思想应用于云同步冲关适合训练1.P是曲线y=ln x上的动点，q是直线y=x 1上的动点，则|PQ|最小值=()A.0 B. C. D.2答案c

14、在分析直线与y=ln x相接并且与y=x 1平行的情况下，从切点p到直线y=x 1的距离|PQ|最小，(lnx )=并且=1是x=1，因此p (1，1 )2 .如图所示，建设道路需要湖的弯曲部分和2条直线道路平滑地连接(相接)。 如果知道湖的弯曲部分是某个三次函数图像的一部分，则此函数的解析式为()A.y=x3-x2-x B.y=x3 x2-3xC.y=x3-x D.y=x3 x2-2x答案a如分析主题所理解的那样，该三次函数满足以下条件：设过点(0，0 )、(2，0 )、(0，0 )处的切线方程式为y=-x，设(2，0 )处的切线方程式为y。如果在函数y=f(x )的图像上存在两个点，并且函

15、数的图像在这两个点处的切线相互正交，则y=f(x )具有t的性质。 以下函数中具有t性质的是()x3=正式b.y=正式c.y=正式y=正式x 3答案a分别将解析函数y=f(x )图像上的两点设为(x1，y1)、(x2，y2)，且如果x1x2，则根据标题可知函数y=f(x )满足f(x1)，如果y=f(x)=ln x的导函数满足f(x )=则f(x 如果y=f(x)=ex的导函数是f(x )=ex，那么由于f(x1) f(x2)=ex1x 20，所以函数y=ex不具有t的性质。 如果y=f(x)=x3的导函数是f(x )=3x 2，则由于f(x1) f(x2)=9xx0，所以函数y=x3不具有t的性质。2.(2018河南洛阳统一试验)如果曲线f(x)=点(1，f(1) )处的切线的倾斜角为，则实数a=()A.1 B.-1 C.7 D.-7答案c分析f(x)=，f(1)=tan=-1，所以选择了c