2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

1、第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求考情分析命题趋势1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.2016四川卷，92015全国卷，20(1)直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.分值：35分1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_向上方向_之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直

2、线l与x轴_平行或重合_时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是_0，)_.2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率k_tan_.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k_.3直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)_yy0k(xx0)_不含直线xx0斜截式斜率k与截距b_ykxb_不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)_不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b_1_不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_AxByC0(A2B20)_平面直角坐标系内

3、的直线都适用1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)当直线l1和l2斜率都存在时，若k1k2，则l1l2.()(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程()(5)任何直线方程都能写成一般形式()解析 (1)正确直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置(2)错误当直线的倾斜角为90时，其斜率不存在(3)错误当k1k2时，两直线可能平行，也可能重合(4)错误当直线与x轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示(5)正确无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式2

4、直线xym0(mR)的倾斜角为(C)A30B60C150D120解析 由ktan ，0，180)得150.3已知直线l过点P(2,5)，且斜率为，则直线l的方程为(A)A3x4y140B3x4y140C4x3y140D4x3y140解析 由y5(x2)，得3x4y140.4过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(A)A1B4C1或3D1或4解析 由1，得m24m，m1.5若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_4_.解析 kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.一直线的倾斜角与斜率由斜率求倾斜角的范围的注意点直线的倾斜角

5、范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分k0与k0两种情况讨论当斜率k0，)时，；当斜率k(，0)时，；当斜率不存在时，.【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是(B)ABCD(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是_(，1，)_.解析 (1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，k(，1，)二直线方程的求法求直线方程的注意点

6、(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零【例2】 根据所给条件求直线的方程(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy

7、160或x3y90；(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.三直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值【例3】 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解

8、析 依题意设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212) 12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.此时直线l的方程为2x3y120.1直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是(B)ABCD解析 直线的斜截式方程为yx，所以斜率tan ，所以1tan 0，解得0，所以k22，故三角形面积的最大值为.4已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_.解析 直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)由动点P(a，b)在线段AB上，

9、可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b22.由于0b1，故当b时，ab取得最大值.易错点忽略直线方程的适用范围错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x轴垂直，则需要讨论【例1】 已知圆M：(x1)2(y1)24，直线a过点C(2,3)且与圆M交于A，B两点，且2，求直线a的方程解析 圆M的半径r2，2，圆心M(1,1)到直线a的距离为1.当直线a垂直于x轴时，符合题意当直线a不垂直于x轴时，设其方程为y3k(x2)，即kxy(32k)0，1，k，y3(x2)，即3x4y60.综上可知，直线a的方程为x2或3x4y60.【跟踪训练1】 过点M(3,

10、5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_5x3y0或xy80_.解析 当直线过原点时，直线方程为yx，即5x3y0；当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya，代入点(3,5)，得a8，即直线方程为xy80.课时达标第46讲解密考纲考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查一、选择题1设直线l的方程为xycos 30(R)，则直线l的倾斜角的范围是(C)A0，)BCD解析 当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线方程可得斜率k.cos 1,1且cos 0，k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，

11、.由上知，倾斜角的范围是，故选C2如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析 直线l1的斜率角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且a2a3，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D3若k，1，b三个数成等差数列，则直线ykxb必经过定点(A)A(1，2)B(1,2)C(1,2)D(1，2)解析 因为k，1，b三个数成等差数列，所以kb2，即b2k，于是直线方程化为ykxk2，即y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)4(2018浙江嘉兴模拟)如果AC0，且BC0)个单位，再沿y轴正方向平

12、移a1个单位得直线l，此时直线l与l重合，则直线l的斜率为(D)ABCD解析 设P(x，y)是l上任意一点，由题意知Q(xa，ya1)也在直线l上，所以l的斜率为kPQ，故选D6设点 A(2,3)，B(3,2)，若直线 axy2 0 与线段 AB没有交点，则a的取值范围是(B)ABCD解析 直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，由图可知a且a，a.二、填空题7(2018黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_x2y20或2xy20_.解析 设所求直线的方程为1，A(2,2)在直线上，1，又因直线与坐标轴围成的

13、三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程8已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_3_.解析 直线AB的方程为1，易知x0，y0时xy才能取最大值，12，|xy|3，(xy)max3，当且仅当，即当P点的坐标为时，xy取最大值3.9若 ab0，且 A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_16_.解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0

14、.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号，即ab的最小值为16.三、解答题10过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程解析 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上由题意知则点B(6x，y)，解方程组得则k8.故所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.11已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解析 (1)设直线在x，y轴上的截距均为a.若a0，即直线过点(0,0)及(3,4)直线的方程为yx，即4x3y0.若a0，设所求直线的方程为1，又点(3,4)在直线上，1，a7.直线的方程为xy70.综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70.(2)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)所求直线的方程为xy10或xy70.12已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值