2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第43讲 空间向量及其运算学案

1、第43讲空间向量及其运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式.2017全国卷，162016山东卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：3分1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为_0_的向量0单位向量长度(模)为_1_的向量相等向量方向_相同_且模_相等_的向量ab相反向量方向_相反_且模_相等_的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_平行或重合_的向量ab共面向量平行于同一个_平面_的向量2空间向量中的有关定理(1)

2、共线向量定理空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数，使得_ba_.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta.其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或_(1t)t_.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p_x ay b_，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间向量任意一点O，有_xy_或xyz，其中xyz_1_.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a_1e12e23e3_，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底3空间向量的数量积及

3、运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作_a，b_，其范围是_0a，b_，若a，b，则称a与b_互相垂直_，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_|a|b|cos a，b_叫做向量a，b的数量积，记作_ab_，即ab_|a|b|cos a，b_.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_(ab)_；交换律：ab_ba_；分配律：a(bc)_abac_.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab_a1b1a2b2a3b3_共线a

4、b(b0，bR)_a1b1，a2b2，a3b3_垂直ab0(a0，b0)_a1b1a2b2a3b30_模|a|_夹角a，b(a0，b0)cosa，b1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，0，0，0，则该四边形为(D)A平行四边形B梯形C长方形D空间四边形解析 由已知得0，0，0，0，由夹角的定义知B，C，D，A均为钝角，故A，B，C项不正确课时达标第43讲解密考纲空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种

5、解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等一、选择题1点M(8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(A)A(8，6，1)B(8，6，1)C(8，6,1)D(8，6,1)解析 结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确2O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点(B)A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断解析 ，且1，A，B，C，P四点共面3已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x(B)A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)解析 bx2a，x4a2b即x(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)4已知a(2,1，

6、3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则(B)A9B9C3D3解析 由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，所以解得9.5若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则(C)ABC，相交但不垂直D以上均不正确解析 由n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，n1和n2不平行，与不平行；又n1n26320290，与不垂直6平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两夹角均为60，且|1，|2，|3，则|(A)A5B6C4D8解析 由题可得，故22222()1492(121323)cos 6025，故|AC1|5.二、填空题

7、7在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为_(0，)_.解析 依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.8如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.解析 由题意知().9已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|_.解析 设P(x，y，z)，故(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，又2，则有解得P(，3)，|.三、解答题10如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa

8、，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.解析 (1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明：A1，E，F，C1四点共面，共面选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.11如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1

9、，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)，即EFAB又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，.即APDC，ADDC又APADA，DC平面PADDC平面PDC，平面PAD平面PDC12在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB若存在，求出点G的坐标；若不存出，试说明理由解析 (1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)