2019版高考数学一轮复习 第十章 算法初步 第65讲 用样本估计总体学案

1、第65讲用样本估计总体考纲要求考情分析命题趋势1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点2理解样本数据标准差的意义和作用并会计算3能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释4会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本数字特征估计总体的数字特征，理解用样本估计总体的思想.2016山东卷，32016四川卷，162015全国卷，182015重庆卷，32015安徽卷，6根据样本数据求基本的数字特征，利用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.分值：512分1频率分布直方图和茎叶图(1)作频率分布直方图

2、的步骤求极差(即一组数据中_最大值_与_最小值_的差)；决定_组距_与_组数_；将数据_分组_；列_频率分布表_；画_频率分布直方图_(2)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的_中点_，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时_所分的组数_增加，_组距_减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线(3)茎叶图的优点茎叶图的优点是可以_保留_原始数据，而且可以_随时_记录，这对数据的记录和表示都能带来方便2样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出

3、现次数_最多_的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按_从小到大的_顺序排列，处在_中间_位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，xn，那么这n个数的平均数_平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差、方差标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s_.方差：标准

4、差的平方s2_(x1)2(x2)2(xn)2_，其中xi(i1,2,3，n)是_样本数据_，n是_样本容量_，是_样本平均数_(3)平均数、方差公式的推广若数据x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma，方差为m2s2.1思维辨析(在括号内打“”或打“”)(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(3)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数()(4)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的()(5)一组数据的

5、方差越大，说明这组数据的波动越大()解析 (1)在频率分布直方图中，小矩形的高为频率/组距(2)茎叶图中，相同的数据要重复记，故错误(3)由众数概念知结论正确(4)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形面积和相等，故错误(5)由方差定义和结论知正确2若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 (A)A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91.5，平均数为91.5.3如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为2,2

6、.5)范围内的居民数有_25_人解析 由图可知，在2,2.5)范围内的居民人数有1000.5(2.52)25.4一个容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在5,9)内的频率和频数分别为_0.2,40_.解析 由图可知，落在5,9)内的频率为0.05(95)0.2，频数为2000.240.5某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_乙_运动员的发挥更稳定.解析 由茎叶图可知，乙运动员的得分大部分集中在3040之间，而甲运动员的得分相对比较分散且在低分区的较多，故乙比赛得分更稳定一频率分布直方图及其应用(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求

7、其他数据可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及已知范围结合求解【例1】 (2016四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解析 (1)由频率分布直方图，可知月均用水量

8、在0,0.5)的频率为0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)组的频率分别为0.08,0.21,0.25，0.06，0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12，由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.1236 000.(3)设中位数为x吨因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.

9、5，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5，所以2x2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨二茎叶图及其应用由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示；其缺点是当样本容量较大时，作图较繁琐【例2】 在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图.(1)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若

10、从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望解析 (1)学生甲的平均成绩甲82，学生乙的平均成绩乙82，又s(6882)2(7682)2(7982)2(8682)2(8882)2(9582)277，s(7182)2(7582)2(8282)2(8482)2(8682)2(9482)2.则甲乙，ss，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛(2)的所有可能取值为0,1,2，则P(0)，P(1)，P(2)，则的分布列为012P所以数学期望E()012.三样本的数字特征及其应用平均数和方差都是重要的数字特征，是对

11、总体的一种简明的阐述平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小【例3】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些解析 (1)甲(86786591047)7，乙(6778678795)7.(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2可求得s3.0，s1.2.(3)由甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又ss，说明甲战士射击情况波动大，因此乙

12、战士比甲战士射击情况稳定1下图是样本容量为200的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计，数据落在2,10)内的概率约为_0.4_.解析 由题组可得(0.020.08)40.4.2某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的a_3_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_6_000_.解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得(0.20.81.522.5a)0.11，解得a3.于是消费金额在区间0.5,0.9内的频率为(320.80.2)0.

13、10.6，所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.610 0006 000.3(1)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(B)ABCD(2)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1

14、，则这组数据为_1,1,3,3_(从小到大排列)解析 (1)由茎叶图中的数据通过计算求得甲29，乙30，s甲，s乙，甲乙，s甲s乙，故正确(2)不妨设x1x2x3x4，x1，x2，x3，x4N*，依题意得x1x2x3x48，s1，即(x12)2(x22)2(x32)2(x42)24，所以x43，结合x1x2x3x48及中位数都是2，可得x1x21，x3x43，则这组数据为1,1,3,3.4某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计按照50,60)，60,70)，70,80)，80,

15、90)，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50,60)，90,100的数据)(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80,90)的学生个数，求的分布列及其数学期望解析 (1)由题意可知，样本容量n50，则y0.004，x0.10.0400.0100.0160.0040.030.(2)由题意可知，分数在80,90)的有5人，分数在90,100的有2人，共7人抽取的3名同学中得分在80,90)的学

16、生个数的所有可能取值为1,2,3，则P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为123P所以E()123.易错点不清楚统计中数字特征的实际意义错因分析：不会计算中位数；对平均数、中位数、众数等数字特征的实际意义理解不透【例1】 从高三年级中抽出50名学生参加竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图利用频率分布直方图估计：(1)这50名学生的众数P与中位数M；(2)这50名学生的平均成绩A；(3)这50名学生60分以上所占的百分比是多少？解析 (1)根据频率分布直方图，得：这50名学生的众数是P75，(0.0040.0060.0200.030)100.6，中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高

17、为0.03，则0.03x0.2，x，中位数M.(2)这50名学生的平均成绩是(450.004550.006650.02750.03850.024950.016)1076.2.(3)这50名学生中60分以上的百分比是1(0.0040.006)100.990%.【跟踪训练1】 (2016北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定

18、为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当w3时，估计该市居民该月的人均水费解析 (1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1，(1,1.5，(1.5,2，(2,2.5，(2.5,3内的频率依次为0.1，0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.2

19、50.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元)课时达标第65讲解密考纲用样本估计总体在高考中，三种题型均有可能考查，作为解答题时，题目较简单，属于不能失分的题目一、选择题1某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(B)A45B50C55D60解析 根据频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.0050.01)200.3，故该班的学生人数为

20、50(人)，故选B2某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(D)A，s21002B100，s21002C，s2D100，s2解析 对平均数和方差的意义深入理解可巧解，因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D3如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的中位数为(C)A20B25C22.5D22.75解析 产品的中位数出现在概率是0.5的地方，自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,

21、0.15,0.15，设中位数是x，则由0.10.20.08(x20)0.5，得x22.5，故选C410名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(D)AabcBbcaCcabDcba解析 平均数a(15171410151717161412)14.7，中位数b15，众数c17，cba.5(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是(A)A月接待游客量

22、逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A项错误6下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(B)A6B10C91D92解析 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10，故选B二、

23、填空题7为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_10_.解析 设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则7，4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大但与7的差值不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.8如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_6.8_.解析 11，s26.8.9为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均属于区间

24、80,130，其频率分布直方图如图所示，则在60株树木中底部周长小于100 cm的株数为_24_.解析 由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.0150.025)106024.三、解答题10为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该

25、校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.解析 (1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.(2)记“至少有2人是好视力”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为CCC，总的基本事件个数为C，故P(A).(3)X的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B.P(X0)3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)3，则X的分布列为X0123P故X的数学期望E(X)3.11随着现代高等级公路的迅速发展，公路绿化苗木消费量剧增某林场在某城市的零售店分析往年“美人梅”的零售情况，作出相关的统计与分析，按照日零售量50,100)，100,150)，150,200)，200,250分成4组，并制作了日零售量的频率分布直方图，如图所示(假设每天的零售量相互独立，且日零售量落入各组的频率视为概率)(1)求图中a的值；(2)求从明日开始的连续4天中，有2天的日零售量少于150株而另外2天的日零售量不少于200株的