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1、2020/7/30,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第十二章,2020/7/30,高等数学课件,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,例1.,解:,根据初始条件, 设所求特解为,代入原方程, 得,比较

2、同次幂系数, 得,故所求解的幂级数前几项为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,二、二阶齐次线性微分方程,定理.,则在R x R 内方程必有幂级数解:,设 P(x), Q(x) 在 (R, R ) 内可展成 x 的幂级数,(证明略),此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多,重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,例2.,的一个特解.,解:,设特解为,代入原方程整理得,比较系数得:,可任意取值,因是求特解, 故取,从而得,当n 4 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,因此,注意到:,此题的上述特解即为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,定理 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,解:,求解勒让德 (Legendre) 方程,展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).,设方程的解为,代入:,2020/7/30,高等数学课件,整理后得:,比较系数, 得,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/7/30,高等数学课件,于是得勒让德方程的通解:,上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛,可以任意取,它们是方程的,两个线性无关特解.

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