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文档简介

1、第三节 行列式按行(列)展开,定义,在n阶行列式D中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后留下的n1阶行列式称为元素aij的余子式。记作Mij.,称为aij的代数余子式.,例如,定理.1 n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即,证,定理3.2 n阶行列式D中某一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即,或,证明,我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第i行的展开式，该行列式的特点是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行与D的第i行对应的元素有相同的代数余子式。于是知该行列式为,i,k,

2、由于B中第i行与第k行相同，则B0，故,同理可证,证毕,把定理3.1及定理3.2结合起来,便得到了两个重要 公式：,设n阶行列式D，则,例1 计算行列式,解,例2 计算行列式D=|aij|n，其中aij=|ij|.,解：写出此行列式观察其特征,=(1)n+1(n 1)2n-2.,例3,计算n阶行列式,解,按第1列展开,而,所以,练习：计算,行列式的展开定理3.1可以进一步推广。为此我们将元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。,定义,在n阶行列式D中选取k行、k列(1k n) ，由这些行、列相交处的元素所构成的k阶行列式，称为D的k阶子式。记作N。在行列式D中去掉k阶子式N所在行、列以后得到的

3、nk阶行列式称为该k阶子式的余子式。记作M。若N所在的行序数为i1,i2,ik，所在的列序数为j1,j2,jk，那么,称做N的代数余子式。,定理3.3 拉普拉斯(Laplace)定理,设在n阶行列式D中任意选取k个行（列） (1k n-1) ，找出位于这k行（列）中的一切k阶子式N1,N2,Nt及其对应的代数余子式A1,A2,At，则有,其中,例4,计算五阶行列式,解,利用定理3.3，把行列式D按前二行展开，前二行共有 C52=10 个二阶子式，但其中不为0的只有三个,与N1, N2, N3对应的代数余子式分别为,所以,例5,计算2n阶行列式,解法1,按第一行展开有,以此作递推公式，即可得,解法2,利用定理3.3，按第n,n+1行这两行展开行列式

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