2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程学案新人教B版选修2

1、2.3.1双曲线的标准方程学习目标：1 .理解双曲线的定义、几何和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程及其解法；3.用双曲线的定义和标准方程解决简单问题。知识点双曲线的定义如图所示，如果你拿一个拉链，打开它的一部分，在开口的两边各选一个点，分别固定在F1和F2点上，把笔尖放在M点上，打开或关闭拉链，笔尖经过的点可以画一条曲线，那么曲线上的点应该满足什么几何条件？梳(1)平面中两个固定点F1和F2之间的距离差等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹称为双曲线。这两个固定点称为双曲线，两个焦点之间的距离称为双曲线。(2)“小于|F1F2|”:如果将“小于|F1F2|”改为“等于|

2、f1 F2 |”，其他条件不变，则移动点的轨迹为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(包括端点)；如果将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，且其他条件保持不变，则移动点轨迹不存在。(3)如果去掉“绝对值”而其他条件保持不变，移动点的轨迹只是双曲线。(4)如果常数为零，而其他条件保持不变，则该点的轨迹为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。知识点二的双曲线标准方程思考1双曲标准方程的推导过程是什么？思考2:双曲线中的A、B和C之间是什么关系？椭圆中的a、b和c有什么区别？结合(1)两

3、种形式的标准方程焦点轴横坐标y轴标准方程数字焦点坐标a、b和c的关系(2)焦点F1和F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型。“焦点跟随正项”，如果x2项的系数为正，则焦点在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上，如果y2项的系数为正，则焦点在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上。(3)当双曲线的焦点位置不确定时，其标准方程可设为AX2 By2=1 (AB0)。(4)标准方程中的两个参数决定了双曲线的形状和大小，

4、这是双曲线形状的条件。B2在椭圆上不同于B2。类型双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中焦点三角形的面积问题例1已知双曲线的左右焦点分别为F1和F2。如果双曲线上的点pf1p F2=60，求F1PF2的面积。扩展查询在本例中，如果f1pf2=90，其他条件不变，则求F1PF2的面积。双曲线焦点三角形面积求法的思考与理解(1)方法1:根据双曲线的定义，| | pf1 |-| pf2 |=2a；(2)余弦定理用来表示|PF1|、|PF2|、| F1F2 | PF1 | | PF2 |的值可以通过公式利用整体思想得到；用公式计算面积。(2)方法2:使用公式(yP是p点的纵坐标)得到面积。特别提醒：要解

5、决与双曲线定义有关的焦点问题，首先要注意定义条件| pf1 |-| pf2 |=2a的变形使用，特别是它与| pf1 | 2 | pf2 | 2、| PF1 | PF2 |的关系。跟踪训练1如图所示，已知F1和F2是双曲线的左右焦点-=1，点m是双曲线上的一个点，并且f1mf 2=，所以求MF1F2的面积。命题角度2使用双曲线定义来找到它的标准方程例2 (1)给定固定点f1 (-2，0)和F2 (2，0)，在平面中满足下列条件的是()在移动点p的轨迹中是双曲线A.|PF1|-|PF2|=3 B.|PF1|-|PF2|=4C.|PF1|-|PF2|=5 D，|PF1|2-|PF2|2=4(2)在

6、平面直角坐标系中，A点和B点的坐标分别为(-5，0)和(5，0)，直线AM和BM在M点相交，其斜率的乘积为，则M点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。双曲线定义两种应用的反思与感悟(1)根据双曲线的定义判断运动点的轨迹时，必须注意双曲线定义中的各种条件。我们不应该把轨迹看作双曲线，就像d的绝对值一样(2)巧妙利用双曲线的定义求解曲线的轨迹方程，可以大大减少计算量，提高求解问题的速度和质量。基本步骤如下(1)寻找移动点m与固定点F1和F2之间的关系；根据题目的条件，计算是否| | mf1 |-| mf2 |=2a(常数，A0)。判断：如果2a2c=| f1f2 |

7、满足定义，则移动点m的轨迹为双曲线，2c=| f1f2 |，B2=C2-a2，则对应a，b，c .根据F1和F2的坐标轴写出双曲线的标准方程。跟踪培训2下列命题是真实的命题_ _ _ _ _ _ _ _。(填写所有真实命题的序号)(1)如果不动点f1 (-1，0)和F2 (1，0)是已知的，满足| pf1 |-| pf2 |=的点p的轨迹是双曲线；给定不动点f1 (-2，0)和F2 (2，0)，满足| pf1 |-| pf2 | |=4的点p的轨迹是两条射线；(3)固定点F1 (-3，0)和F2 (3，0)之间的距离差的绝对值等于7的点P的轨迹是双曲线；如果点P到固定点F1 (-4，0)和F2

8、 (4，0)的距离差的绝对值等于点M (1，2)到点N (-3，1)的距离，那么点P的轨迹是双曲的。2型待定系数法求双曲线的标准方程例3 (1)已知双曲线的焦点在Y轴上，双曲线通过点(3，-4)和，得到双曲线的标准方程。(2)找到双曲线的标准方程，该方程在椭圆=1的焦点上，并通过点(1)。对待定系数法解方程步骤的思考和理解(1)定型：即确定双曲线焦点所在的坐标轴是X轴还是Y轴。(2)方程设置：根据焦点位置，设置相应的标准方程形式，如果你不知道焦点的位置，讨论它，或者让双曲方程是AX2乘以2=1 (AB0)。双曲线的标准方程是双曲线的焦点-=1 (A0，b0)可以设置为-=1 (-b22c)|P

9、F1|-|PF2|=2a(|F1F2|=2c，2a2c)标准方程=1或=1(ab0)-=1或-=1(a0，b0)图形特征闭合连续曲线分成两个分支，不闭合，不连续根据标准方程确定甲、乙的方法用大小除甲和乙(如果=1，94，那么A2=9，B2=4)用正负点除A和B(例如，-=1，40，-90，然后A2=4，B2=9)a、b和c之间的关系A2=B2 C2(最大值)C2=A2 B2(最大c)利用双曲线与椭圆的关系，可以类比椭圆得出双曲线的相关结论，或者用相似的方法解决双曲线的相关问题和双曲线与椭圆的综合问题。跟踪训练4 (1)已知双曲线和椭圆=1具有共同的焦点和交叉点(，4)，并且获得双曲线方程。(2

10、)众所周知，椭圆c:=1 (ab0)具有这样的性质：如果m，n是椭圆c上相对于原点的两个对称点，点p是椭圆c上的任意点，假设直线PM和PN的斜率存在并被记录为kPM和kPN，那么kPM和kPN的乘积是与点p的位置无关的常数值。1.如果双曲线e的左右焦点：-=1是F1和F2，点p在双曲线e上，并且| pf1 |=3，那么|PF2|等于()A.11 B.9C.5 D.32.如果F1和F2是双曲线x2-=1的左右焦点，p是双曲线上的一个点，3 | pf1 |=4 | pf2 |，那么PF1F2的面积等于()A.4 B.8C.24 D.483.假设圆C: X2 Y2-6x-4Y 8=0，圆C与坐标轴的

11、交点分别作为双曲线的焦点和顶点，双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _。4.假设双曲线2x2-y2=k (k 0)的焦距是6，k的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。5.假设双曲线上M点的横坐标为5，从M点到左焦点的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _。1.对双曲线定义的理解(1)定义中的距离差应该加上绝对值，否则它只是双曲线的一个分支。让F1和F2代表双曲线的左右焦点。如果| mf1 |-| mf2 |=2a，那么点m在右分支上；如果| mf2 |-| mf1 |=2a，那么点m在左分支上。(2)双曲线定义的双向应用：如果| | mf1 |-| mf2 |=2a(02a | f1

12、F2 |)，则移动点m的轨迹是双曲线。如果移动点m是在炒作(2)量化：指确定a2和b2的值，通常用条件级数方程求解。特别提醒：如果焦点位置不清楚，我们应该注意分类讨论，或者我们可以将双曲方程设置为mx2 ny2=1的形式。为简单起见，通常标记条件mn0。提醒：完成作业的第二章2.3.1答案分析面向问题的学习知识点一思维曲线上的点满足以下条件：| mf1 |-| mf2 |=常数；如果改变笔尖的位置，使| mf2 |-| mf1 |=常数，就可以得到另一条曲线。结合(1)绝对焦距，(2)两条光线的垂线，(3)线段F1F2。知识点2思维1 (1)系统的建立：以直线F1F2为X轴，F1F2中点为原点

13、，建立一个平面直角坐标系。(2)设M(x，y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦点坐标为F1 (-c，0)，F2(c，0)。(3)公式：from | mf1 |-| mf2 |=2a，可用-=2a。(4)简化：移动项目并在方块后得到它们(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)。假设C2-A2=B2，双曲线的标准方程是-=1 (A0，B0)。(5)检验：从上述过程可以看出，双曲线上任意一点的坐标满足方程2；从方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线的两个焦点(-c，0)和(c，0)的距离差的绝对值是2a，即方程的解为坐标的点都在双曲线上，所以方程称为双曲线的标准方程。(这个步骤可以省略)考虑双

14、曲标准方程中的两个参数A和B，确定了双曲线的形状和大小，这是双曲线的成形条件，其中B2=C2-A2，即C2=A2 B2，其中ca、cb、A和B之间的大小关系是不确定的；在椭圆中，B2=A2-C2，即A2=B2 C2，其中ab0，ac，C和B之间的关系是不确定的。梳理(1)-(1)(A0，b0)-=1(a0，b0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a2+b2=c2(2)x轴Y轴(4)C2-A2-C2问题类型查询实施例1的解决方案是从-=1，A=3，b=4，c=5。| pf1 |-| pf2 |=6根据定义和余弦定理。| F1F 2 | 2=| PF1 | 2+

15、| PF2 | 2-2 | PF1 | | PF2 | cos 60，所以102=(| pf1 |-| pf2 |) 2 | pf1 | | pf2 |，因此，| pf1 | | pf2 |=64，因此=| PF1 | | PF2 | sinF1PF2=64=16。扩展查询根据双曲方程，解是a=3，b=4，c=5。根据双曲线的定义，| | pf1 |-| pf2 |=2a=6，因此，| pf1 | 2 | pf2 | 2-2 | pf1 | | pf2 |=36，在RtF1PF2中，它是由勾股定理得到的| PF1 | 2+| PF2 | 2=| F1F 2 | 2=(2c)2=100，将代入，

16、得到| pf1 | | pf2 |=32。因此跟踪训练1在MF1F2中求解，并通过余弦定理，| f1 F2 | 2=| mf1 | 2 | mf2 | 2-2 | mf1 | | mf2 | cos。| F1F2 | 2=4c2，| MF1 | 2+| MF2 | 2=(| MF1 |-| MF2 |)2+2 | MF1 | | MF2 |=4a2+2|MF1|MF2|， 公式是4c2=4a2+2|MF1|MF2|(1-cos )，|MF1|MF2|=，=|MF1|MF2|sin =。例2 (1) a (2)-=1 (x 5)跟踪培训2 例3解(1)假设双曲方程是-=1 (A0，b0)，那么解决它双曲线的标准方程是-=1。(2)椭圆=1的焦点坐标为(0，-2)，(0，2)。让双曲方程为-=1 (m0，n0)。那么解决办法是因此，双曲线的标准方程是-=1。跟踪训练3解(1)让双曲标准方程为-=1 (A0，b0)，c=,b2=c2-a2=6-a2.从问题的意义来看-=1，-=1，解决方案是A2=5或A2=30。 B2=1。双曲线的标准方程是-Y