2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法及其应用学案理北师大版

1、13.3数学归纳法最新的试验纲思情思向分析1 .理解数学归纳法的原理2 .可以用数学归纳法证明简单的数学命题主要理解数学归纳法原理，并使用数学归纳法来证明关于数列的方程式或不等式数学归纳法数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法(1)验证： n取最初的值n0(例如n0=1或2等)时，命题成立(2)假设在n=k(kN，kn0)时命题成立的前提下，n=k 1时命题成立。从(1)(2)可以断定命题对于从所有n0开始的正整数n成立。问题小组思考分析1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，最初的步骤是在n=1时验证结论成立。(2)所有与正整数有关的数

2、学命题都必须用数学归纳法来证明。用数学归纳法证明问题时，可以不使用归纳假说。(4)不管是等式还是不等式，如果用数学归纳法证明，项数会从n=k增加1。(5)使用数学归纳法证明等式“1 2 22 2n 2=2n 3-1”，并且在验证n=1的情况下，左边等式是1222 23。(6)用数学归纳法证明凸n角形的内角和式时，n0=3.()问题小组2教材的改编2 .如果用数学归纳法证明凸n边形的配对折角线为n(n-3 )个，则在第一个步骤中验证n等于()甲级联赛C.3 D.4机动战士答案c由于解析凸n边形边数最少时为三角形，所以第一步验证n=3如果满足an 1=a-nan 1，n-n，并且知道a1=2，则a

3、2=_，a3=。答案3 4 5 n 1问题组3容易出错4 .当用数学归纳法证明1 a a2 an 1=(a1，n-n )并且验证n=1时，方程式的左上项为()甲级联赛C.1 a a2 D.1 a a2 a3答案c分析在n=1时，n 1=2，左边=1 a1 a2=1 a a2。5 .对于不等式0，整数p1，n-n。(1)证明： x-1且x0时，为(1 x)p1 px；(2)数列an满足a1、an 1=an a .证明： anan 1。在证明(1)p=2的情况下，(1 x)2=1 2x x21 2x，原不等式成立。当p=k(k2，k-n )时，假设不等式(1 x)k1 kx成立。当p=k 1时，(

4、1 x)k 1=(1 x)(1 x)k(1 x)(1 kx )=1 (k 1)x kx21 (k 1)x。因此，当p=k 1时，原不等式也成立.得到综合，x-1且x0时，对于所有的整数p1，不等式(1 x)p1 px成立。(2)当方法1n=1时，根据问题设定，a1成立。假设n=k(k1，k-n )时，不等式ak成立。从an 1=an a中容易知道an0、n-n .当n=k 1时，=a=1。从ak 0得到-1-0。从(1)的结论得到了p=p1 p=。因此，ac，即ak 1因此，当n=k 1时，不等式an也成立.得到综合，对于所有正整数n不等式an成立此外，可以从=1得到1即，an 1an 1、n

5、-n。方法二是f(x)=x x1-p，其中x，如果是xpc，然后f(x)=(1-p)x-p=0，x。由此，f(x )以，增加，因此，在x的情况下，f(x)f()=。在n=1时，为a10，即，c是a2=a1等于a 1，等于a1a2。因此，当n=1时，不等式anan 1成立.假设n=k(k1，k-n )的情况下，不等式akak 1成立，在n=k 1的情况下，f(ak)f(ak 1)f ()，即有ak 1ak 2。因此，当n=k 1时，原不等式也成立.得到综合，对于所有正整数n不等式anan 1成立思维热升华数学归纳法证明不等式的适用范围和重要(1)适用范围：遇到正整数n的不等式证明时，如果不能用其

6、他方法容易证明，可以考虑适用数学归纳法(2)关键： n=k时命题成立证n=k 1时命题也成立，使用归纳假说后可以用比较法、综合法、分析法、收缩法等证明，可以有效利用基本不等式、不等式性质等收缩技术，简化问题如果跟踪训练(2018衡水调查)函数f(x)=x2-2x-3，则定义数列xn如下： x1=2，xn 1为过点p (4，5 )，qn (。即，在xk 11的情况下，对于x(0，a-1 )，(x)0，(x )在(0，a-1 )处减少，(a-1)(0)=0。即，在a1的情况下，如果不存在x0，则将(x )设为0，ln (1x )不一定。由以上可知，a的可取值范围为(-，1 )。关于命题点二数列的证

7、明问题典型例(2018东营模拟)将数列an的前n项和作为Sn，并且推测满足2Sn=a n，an0(nN ) .的一般项公式，用an的数学归纳法进行证明。分别设定为n=1、2、3an0、a1=1、a2=2、a3=3，估计： an=n。2Sn=a n，n2时，2Sn-1=a (n-1 )、得到-、2an=a-a 1，即a=2an a-1。(I )在I)n=2的情况下，a=2a2 12-1，a20，a2=2。假设n=k(k2，k-n )时，ak=k，n=k 1时，a=2ak 1 a-1=2ak 1 k2-1，即， AK1- (k1) =0，ak 10、k2、ak 1 (k-1)0、在ak 1=k 1，即n=k 1时也成立。很明显，an=n(n2 )在n=1时也成立。因此，对于所有n-n，an=n。命题3存在性问题的证明典型例子为a1=1、an 1=b(nN )。(1)如果1)b=1，则求出a2、a3及数列an的公式。在(b=-1 )的情况下，询问是