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文档简介

1、3 矩阵的秩和解的存在性定理,目的要求,（3）掌握非齐次线性方程组解的存在性,（1）理解矩阵秩的定义,（2）掌握求矩阵秩和最高阶非零子式的方法,（4）掌握齐次线性方程组解的存在性,（5）掌握矩阵秩的性质,一、秩的定义,定义1：在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的k阶行列式叫做矩阵的 k 阶子式. 共,个.,为一阶子式；,为二阶子式；,为三阶子式.,定义2：如果矩阵 A 中,则称 D 为 A 的一个最高阶非零子式.,(2) 所有的 r+1阶子式(若有的话)都等于 0,称数 r 为矩阵 A 的秩.,矩阵 A 的秩记成 R(A).,零矩阵的秩规定为 0 .,(1)

2、 有一个r阶子式 D 0，,例1：求矩阵的秩,4个三阶子式全为零,解：,又,例2：求矩阵的秩,三阶子式共有4个，全为零,二阶子式共有18个，全为零,解：,注：,例3 ：求矩阵的秩,所有4阶子式均为0，而,解：,定理1：行阶梯形矩阵秩等于非零行行数,定理2: 若,证,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,，则,证毕,求秩方法,求秩方法：,解释：,矩阵经过有限次行（列）初等变换后其秩不变.,用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，,矩阵A 的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩.,例4 求秩和一个最高阶非零子式.,解：,二、线性方程组解的存在性定理,解：,分析：若改成求解,则

3、出现0=1矛盾方程，无解.,无解,出现0=1矛盾方程,n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性,方程组无解,方程组有唯一解,方程组有无穷多组解,方程组有解,例6,方程组有唯一解,方程组无解,方程组有无穷多解,解一：,讨论当t 为何值时，,（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解，求通解.,例6,方程组有唯一解,解二：,讨论当t 为何值时，,（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解，求通解.,方程组无解,方程组有无穷多解,通解为,n元齐次线性方程组Ax = 0解的存在性,有非零解,只有零解,是否有非零解？,解：,有非零解,例 7 三元齐次线性方程组,例 8,问,何时有非零解？,解一：,有非零解,解二：,有非零解,三、秩的性质,2)若有s阶非零子式，则,3)若所有t阶子式为零，则,4)n阶方阵,，若,；否则,5),则,6),可逆，则,7),乘可逆矩阵秩不变,可逆方阵,证明：,A的最高阶非零子式总是（A，B）的,非零子式，所以,同理有,即为,设,证明：,证明：,设A为,矩阵，B为,矩阵，则,X为,矩阵. 将矩阵X，B按列分块,后m-r行全为零行.再设,后m-r个元全为零,后m-r行全为零,证明：,知，,由,有解X=B.,乘积的秩 不超过 第一个因子的秩,乘积的秩不超过每个因子的秩,3 矩阵的秩和解的存在性定理,目的要求,（3）掌握非齐次线性方程组解的存在性,（

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