离散数学第4章代数系统.ppt

1、1.Xi交通大学电子与信息工程学院计算机科学系离散数学，2。离散数学，5。环的基本概念。无零因子环、有零因子环和除环的环的基本性质，3。离散数学，5。戒指定义1。设(R，)是一个代数系统，并且是R上的两个二元运算，如果(1)，(2) (R)，是一个半群；(3)满足分布规律：对于任何一个A、B和Cr，都有A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)；那么(r，)是一个环。注意：在环中，因为(r)是一个组，如果有一个元素，关于它的元素被记录为0，这被称为环的零元素。在环中，因为(r)是一个群，所以r中的每个元素都有一个逆元素。让aR，把a的逆元素写成-a，这叫做a的负元素，把a (-b

2、)写成a-b，4，离散数学(也就是说，减法可以在环中定义)。在环中，对于一个运算，如果有任何元素，它被记录为1或e。在环中，让aR，如果a有一个逆元素，它将被表示为-1。当我们以后讨论环时，我们将只讨论|R|2的情况，也就是说，我们将不讨论一个元素的环。在环的定义中，不要求满足分布规律，而只要求满足分布规律。例1。(我，)是一枚戒指。我们称这个环为整数环。这里：I是整数的集合，是整数的普通加法和乘法。从前两节可知，(1)(1)，是一个交换群；(2)(1)，是半群；(3)满足分布规律：从算术知识可知，整数乘法满足整数加法的分布规律。也就是说，a，b，cI的交换定律为a(b(c)=a(b)(a(c

3、)，以满足分配定律；根据环的定义，(我，)是环。5，离散数学，例2。(Mnn、)是一个环。我们称这个环为矩阵环。这里：Mnn是N阶实矩阵的整体，and是矩阵的加法和乘法。从前两节可知：(1) (Mnn，)是交换群；(2) (Mnn，)是半群；(3)满足分布规律：根据线性代数，矩阵乘法满足矩阵加法的分布规律。即A、B、CMnn，其中：A(BC)=(ab)(AC)(BC)A=(ba)(ca)；根据环的定义，(Mnn、)是环。6，离散数学，示例3。(Nm，m，m)是一个环。我们称这个环为整数模环。这里：Nm=0m，1m，m-1m，m和m是在Nm上的模加法和乘法运算。从前两部分可知：(1) (Nm，m

4、)是交换基团；(2) (Nm，m)是半群；(3)m满足M的分布规律：由于im，jm，kmNm，有IM M(JM MKM)=IM M(J K)MOD MM=(I(J K)MOD MM=(I J)MOD MM M(I K)MOD M=(根据环的定义，(Nm，M，M)是环。7，离散数学，例4。(2X，)是一个环。这里我们称这个环为x的子集环：x是非空集，2X是x的幂集，集的对称差运算，集的交集运算。从前两节可知，(1) (2X)，是一个交换群；(2) (2X)，是半群；(3)满足分布律：从第一章定理6(8)可知，集合的交运算满足对称差运算的分布律。即A、b、c2X，A(BC)=(AB)(AC)的交换

5、定律满足分布定律；根据环的定义，(2X，)是环。8，离散数学，例5(Px，)是一个环。我们称这个环为多项式环。这里：Px是整多项式的实系数，和是多项式的加法和乘法。从前两个部分，(1) (Px)，是一个交换群；(2) (Px)，是半群；(3)满足分布规律：因为实数乘法满足实数加法的分布规律，所以多项式乘法满足多项式加法的分布规律。即h(x)、p(x)、q(x)Px，h(x)(p(x)q(x)=(h(x)p(x)(h(x)q(x)的交换定律满足分布定律；根据环的定义，(Px，)是环。9，离散数学，定义2。有环的交换环和有环的交换环让(r，)是环。(1)如果运算满足交换律，那么我们称(r，)为交换

6、环。(2)如果有关于运算的元素，那么我们称(r，)包含元素的环。(3)如果运算满足交换律，并且有关于运算的争论，那么我们称(r，)为交换包含环。，10，离散数学，示例8在前面的示例中，(1)整数环(I，)是一个交换包含环；运算的分子是1；(2)矩阵环(Mnn、)是包含环，但不是交换环；运算的分子是单位矩阵e，矩阵乘法没有交换定律；(3)整数模环是交换环；m操作单位为1m；(4)X的子集环(2X，)是一个可交换的包含环；运算单位是x。(5)多项式环(Px，)是交换环；运算的分子是零次多项式1；11，离散数学，定理1。让(r，)成为一个环。那么a、b和Cr具有(1)零元素：0a=a0=0(加法元素

7、是乘法的零元素)；(2)阳性和阴性均为阴性：A(-B)=(-A)B=-(AB)；(3)阴性为阳性：(-a)(-b)=ab；(4)(-1)a=-a (-1是乘法单元1的负元素)；(5)(-1)(-1)=1(1的逆乘法元素是它自己，即(-1)-1=-1)；(6)左分布定律：a(b-c)=(ab)-(ac)(乘与减)；右分布定律：(bc)a=(ba)(ca)(乘法对减法)。注：根据定理1(1)的结论，在环(r，)中，关于运算的元素是关于运算的零元素。因为(r)是一个交换群，所以必须有一个关于运算的元素，所以必须有一个关于运算的元素。在代数系统中，零元素没有逆元素，所以(r，)不能在环(r，)中形成一

8、个群。12，离散数学，证明。(1)仅证明A0=0 A0=(A0)0=(A0)(A0)-(A0)=(A0)(-(A0)、13、离散数学、(2)仅A-(B)=(AB)A-(B)=(A-(B)0=(A-(B)(AB)-(AB)=(A-(B)(AB)、14、离散数学、(3)(A)-(B)=(根据(2)=-(-(ab)(4)(-1)a=-(1a)(根据(2)=-a；(5)(-1)(-1)=11(根据(3)=1；(6)仅证明A(B-C)=(AB)-(AC)A(B-C)=(A(B-(C)=(AB)(-(AC)(根据(2)，15，离散数学，定义3。有零因子的环和没有零因子的环让(r，)成为环。如果环(R，)中

9、的(1)(aR)(bR)(a0b0ab=0)，那么环(R，)是一个包含零因子的环；称甲为环中的左零因子，称乙为环中的右零因子。(2)(ARr)(Br)(a0b 0ab 0)，也就是说，如果环中没有零因子，那么环(r，)就是零因子环。注：所谓的零因子是指环中的两个元素。它们不是关于操作的零元素，但是它们的操作结果是零元素；因此，这个环被称为包含零因子的环。当环是交换环时，左零因子也是右零因子，反之亦然；在这种情况下，左零因子和右零因子统称为零因子。如果一个环中没有满足上述条件的元素，它就叫做无零因子环。16，离散数学，示例9。整数环是一个非零因子环。众所周知，(我，)是一枚戒指。因为任意两个非零

10、整数相乘，乘积不是零，所以(I，)是定义3中的非零因子环。例10。矩阵环(Mn，n，)是一个零因子环。已知(Mn，n，)是环(n2)。假设n=2，那么有两个非零矩阵相乘，乘积是零矩阵。根据定义3，(Mn，n，)是一个零因子的环。17，离散数学，例11。整数模环(Nm，m，m)，当m是素数时，是没有零因子的环；当m不是素数时，它是一个零因子环。(1)当m是质数时，对于任何im，jmn m，im 0m，(即i pm)，jm 0m(即j qm)，都有i j km(否则，i j=km，因为m是质数，所以必须有m i或m j，所以有i=pm或j=qm，这是矛盾的)，也就是说，有im mjm=根据定义3，

11、(Nm，m，m)是零因子自由环。(2)当m不是素数时，必须有im，jmn m，im 0m，jm 0m，因此m=i j，即im mjm=(i j)mod mm=0m，即im，jm是Nm中的零因子。根据定义3，(Nm，m，m)是包含零因子的环。，18，离散数学，示例12。X的子集环(2X，)是一个零因子环。众所周知，(2X，)是一个环，它的零元素是一个空集合。设|X|2是a，bX和a，b，所以有a，b2X和a，b，所以a b=a。也就是说，两个非零元素相交后为零。根据定义3，(2X，)是一个零因子的环。例13。多项式环(Px，)是一个非零因子环。众所周知，(Px，)是一个环。因为两个非零多项式的乘

12、积仍然是一个非零多项式，所以从定义3可知，(Px，)是一个非零因子环。19，离散数学，定义4。包含在积分域交换中的无零因子环称为积分环。注：整个环也称为整个区域。定义4。除法环一个非零元素的环有一个逆元素(乘法)，叫做除法环。也就是说，如果包含环(r，)满足：(aR)(a0a-1R)，则称之为除环。20，离散数学，示例16在前面的示例中，(1)整数环(1，)是整数环：因为整数环(1，)是包含交换环(示例8(1)和零因子自由环(示例9)。然而，整数环(I，)不是除法环：在整数环(I，)中，除了元素1及其负元素-1之外，其他非零整数aI(a0)没有(乘法)逆元素(a-1=1/aI)。(2)矩阵环(

13、Mnn、)不是一个完整的环：因为矩阵环(Mnn、)不是一个交换环，所以矩阵的乘法没有交换定律(例8(2)，并且它还包含一个零因子环(例10)。矩阵环(Mnn、)也不是除环：因为矩阵环(Mnn、)中的一些非零矩阵(行列式为零)没有关于矩阵乘法的逆矩阵元素(逆矩阵)。21，离散数学，(3)当m是素数时，整数模环(n m，m，m)是整环：因为整数模环(Nm，m，m)是含交换环(例8(3)，当m是素数时，它们是零因子自由环(例11)；并且它也是去环的(见下面的注释)。当m不是素数时，整数模环(n m，m，m)不是整环：因为当m不是素数时，整数模环(Nm，m，m)是包含零因子的环(例11)；并且它不是环

14、分裂(见下面的注释)。(4)X的子集环(2X，)不是一个完整的环：因为X的子集环(2X，)是一个包含零因子的环(例12)；它不是戒指。22，离散数学，(5)多项式环(Px，)是一个整环：因为多项式环(Px，)是一个包含交换环(例8(5)和一个无零因子环(例13)。但是，多项式环(Px，)不是除环：因为有一个非零多项式axPx (a0)，所以多项式乘法中没有逆元素(否则，如果axq(x)=1，我们可以用比较系数的方法得到q(x)=0，所以axq(x)=0有矛盾)。注意：在下面的定理4中，将证明在有限包含环中不存在具有逆元素的零因子(非零元素)；23，离散数学，定理2。在环(r，)中，没有零因子消

15、去律，即a，b，cR和a0，都有AB=ACB=C；ba=cab=c .证明。证明):a，b，CRc和a0，ab=ac (ab)-(ac)=0(两边都达到-(ac) a(b-c)=0(分布规律)b-c=0 (a0且无零因子)b=c):使用反证的方法。假设环中有一个零因子，因此必须有一对元素a、bR、a0和b0，因此ab=0。但是a0=0，所以我们有ab=a0，而b=0可以从a0和消去律中得到，这与已知的b0相矛盾。这个矛盾表明假设是错误的，环中没有零因子。24，离散数学，定理3。分割环是一个无零因子环，包含。注：因此，分环不一定是整环，整环也不一定是分环；将环分成整环，并差乘交换定律；整个环应该成为一个除环，差(非零元素)有乘法逆元素；证明了除环是一个不含任何东西的环，所以只需证明该环没有零因子。假设环中有零因子a、bR、a0和b0，因此ab