相似三角形的计算与证明.ppt

1、1、(2013四川绵阳)如图，四边形ABCD是菱 形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DHAB于 点H，且DH与AC交于G，求GH的长.,解：,四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=4cm,BO=3cm.,GAH=BAO,AHG=AOB=90,GAHBAO,2（2013山东菏泽）如图所示，在ABC中， BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射 线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE 于Q，当CQ= CE时，求 EP+BP的长.,解：,延长BQ交EF于点G,G,1,2, E、F分别是AB、AC的中点,EGBC,2=G, CQBEQG,EG=2BC=12,1,2,1=2,2=

2、G,1=G,PB=PG, EP+BP=EP+PG=EG=12,3.（2013四川巴中10分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE， F为线段DE上一点，且AFE=B （1）求证：ADFDEC； （2）若AB=8，AD=6 ，AF= 4 ，求AE的长,证明:(1),四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBC,B+C=180,4=3,1=B, 1+2=180,2=C, ADFDEC,8,8,6,4,ADFDEC,DE=12,解：（2）,4(2013泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分 DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点， （1）求证：AC2=ABAD

3、； （2）求证：CEAD； （3）若AD=4，AB=6，求 的值,证明:(1),1,2,1=2,ADC=ACB= 90,ADCACB, AC2=ABAD,1,2,（2）求证：CEAD,3, ACB=90,E是AB中点,CE=AE=EB,2=3,1=2,1=3,CEAD,解(3),4,6,3,CEAD,CFEAFD,AD=4,CE= AB=3,5、(2009年安徽)如图，M为线段AB的中 点，AE与BD交于点C，DME=A=B=， 且DM交AC于F，ME交BC于G (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连结FG，如果=45，AB= 4 ， AF=3，求FG的长,EMFEAM D

4、MGDBM AFMBMG,解:(1),3,45,1,A=B=1=45,ACB=90,AC=BC,AB= ,AB=BC=4,AF=3,CF=1,M为线段AB的中点,AFMBMG,解：（2）,证明:(1),1,2,3,4,ACB=90，CDAB,2+4 =4+A=90 ,2=A, E是AC的中点, 1=3,DE=AE,3=A,1,2,3,4,1=2,F=F,FDBFCD,(2) GDEF,5,6, E是AC的中点,CD AB,GD=GC,5+ 6=90,2=5,1=2,1+6=90, GDEF,7、(2013四川南充8分)如图，等腰梯形ABCD中， ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P为BC

5、边上 一点(不与B，C重合)，过点P作APE=B，PE 交CD于E. （1）求证：APBPEC； （2）若CE=3，求BP的长.,证明：(1),1,2,3,四边形ABCD是等腰梯形 B=3=C，AB=CD,2+3=1+B,1=2, APBPEC,1,3,2,3,3,x,7-x,？,F,G,解：(2),作AFAC于F，DGBC于G,四边形AFGD是矩形,AF=DG,FG=AD=3,AB=CD, B=60,ABFDCG(HL),BF=CG=2,APBPEC,BP2-7BP+12=0,BP=3或BP=4,8、(2013湖南株洲) 已知在ABC中,ABC=90, AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的

6、一个动点，过 点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的 延长线(如图2)于点P. 当点P在线段AB上时，求证：AQPABC； 当PQB为等腰三角形时，求AP的长.,图1,图2,证明：(1),ABC=90,PQAC,APQ =ABC,A=A,AQPABC,解:(2),图1,连接CP,如图1，当PQB为等腰三角形时,QPB90,QPB只能为顶角，PQ=PB,PQAC, ABC=90,CP=CP,PQCPBC,CQ=CB=4,AQ=AC-CQ=1,AQPABC,图1,图2,如图2，当P在AB延长线上时,QPB90,当PQB为等腰三角形时,BP=BQ,1,2,1=P,P+A=1+2=90,2=

7、A,AB=BQ=BP,AP=2AB=6,9、(2013四川宜宾10分)如图1，在RtABC中， BAC=90，ADBC于点D，点O是AC边上的 一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E (1)求证：ABFCOE； (2)当O为AC边中点， =2 时， 如图2，求 的值； (3) 当O为AC边中点， = n 时， 如图2，请直接写出 的值,图1,图2,图1,证明：,(1),1,2,3,4,BAC=90， ADBC,BOOE,2+3=3+1=90,C+ABD=ABD+4=90,2=1,4=C,ABFCOE,(2)作OGAC，交AD的延长线于G,G,AC=2AB，O是AC边的中点,AB=OC

8、=OA,由(1) 知ABFCOE,ABFCOE,BF=OE,G,BAD+DAC=90 BAD+ABD=90,DAC=ABD,又BAC=AOG=90， AB=OA,ABCOAG,OG = AC = 2AB,OGOA,BAC=90,ABOG,ABFGOF,10、(2013年福建莆田8分)定义：如图1，点C在 线段AB上，若满足AC2 BCAB，则称点C为线段 AB的黄金分割点；如图2，ABC中，ABACl， A36，BD平分ABC交AC于点D （5分）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （3分）求出线段AD的长,图1,图2,证明：,1,2,A=36,AB=AC=1,ABC=C=,BD平分ABC,3

9、,1=2=A=36,3=1+A=72 =C,AD=BD=BC,C=C,BCDACB,即BC2ACCD,AD2ACCD,点D是线段AC的黄金分割点, AD2ACCD ,AC=1,AD2=AC (AC-AD),AD2=1-AD,11、(2013年广东珠海9分)如图，在RtABC中， C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点 A顺时针方向旋转(点P对应点P),当AP旋转至AP AB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时 作PEAC于点E. (1)求证：CBP=ABP； (2)求证：AE=CP； (3)当 ，BP=5 时， 求线段AB的长.,证明(1):,1,2,3,4,5,BC PE , 4=

10、 5=PPA,1=3, 3+5=2+PPA =90 ,2=3,1=2,1,2,3,4,5,证明(2):,F,作PFAB与F,7,8,6,6=7,AP= AP,AFPPEA,PF=AE,PCBC，PFAB , 1=2,PF=PC,AE=CP,解(3):, BC PE,BCPPPE,设PE=2x,CP=AE=3x,AP=AP =5x,1,2,3,4,5,F,7,8,6,多条线段具有某一关系，用一个字母 表示其中的一条线段，其余的线段就 可用这个字母的代数式表示出来。,总结与体会：,12、(2013泸州)如图，点E是矩形ABCD 的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的 对称点F恰好落在BC上，已

11、知折痕AE=10 cm，且tanEFC= ，求该矩形的周长。,1,2,3,解：,四边形ABCD是矩形,B=C=D=90, ADE与AFE关于 AE轴对称,D=AFD,AF=AD=BC,1+2=2+3=90,1=3,1,2,3,BF=3x,AB=4 x,BC=5x,FC=BC-BF=2x,AF2+EF2=AE2,该矩形的周长为：,13、(2013湖北鄂州)如图，RtABC中， BAC=90，ADBC于点D， 若BDCD=32，求 tanB的值。,ADBC，BAC=90，,解：,B+BAD=90， BAD+ DAC=90， B=DAC, BDA= ADC= 90,BDAADC, BDCD=32,设

12、BD=3x,CD=2x,AD2=6x2,14、如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是 边AB上一点，且tanBCD= . （1）试求sinB的值； （2）试求BCD的面积.,解:(1),作AEBC交BC于E,E,AB=AC=5,BC=8,BE=CE=4,F,(2)作DFBC于F,设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x,AEBC, DFBC,DFAE,BFDBEA,设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x,15、(2013四川南充)如图，正方形ABCD 的边长为2 ，过点A作AEAC，AE=1， 连接BE，求 tan E的值。,F,M,N,作EFBA交BA的延长线于F,解：,正方

13、形ABCD的边长为2,AE=1, AEAC,AMEF,BAMBFE,F,M,N,AMNCBN,AC=4,AN+NC=4,16、如图ABC中，D是BC中点，AD=AC, DEBC,垂足为D，DE与AB相交于点E， EC与AD相交于点F. 求证：ABCFCD。 若SFCD=5,BC=10,求DE的长。,1,2,证明：,DB=DC,EDBC,BE=EC B=2,又AD=AC,ACB=1,ABCFCD,作AGBC于G,G, ABCFCD,S ABC=20,AG=4,DG=CG=2.5,又EDBC,AGBC EDAG,BDEBGA,17、(2011资阳)如图1，在梯形ABCD中，已知 ADBC，B=90

14、，AB=7，AD=9，BC=12， 在线段BC上任取一点E，连结DE，作EFDE， 交直线AB于点F (1) 若点F与B重合，求CE的长；(3分) (2) 若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；(4分) (3) 设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式 (直接写出结果即可)(2分),图1,图2（备用图）,解：（1）,当F与B重合时，四边形AFEB是矩形,CE=BC-BE=BC-AD=3,(2),作DGBC于G,四边形ABGD是矩形,B=1=900,1,2,3,4,3+4=90,DEEF,2+3=90,2=4,DGEEBF,设BF=m,则AF=CE=7-m,EG=4-m BE=5+

15、m,AB=DG=7,m1=2, m2=-10(不合题意，舍去）,CE=5,DGEEBF,18、（2012安徽）如图1，在ABC中，D、E、F 分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四 边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分EDF; （3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似， 求证：BGCG.,（图1）,（图2）,解：(1),D、C、F分别是 ABC三边中点,BDG与四边形ACDG周长相等, BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG,又BG+AG+AC=b+c,(2),D、C、F分别是 ABC三边中点,DF

16、+BF=BG=BF+FG,DF=FG,DEAB,1,2,3,1=3,DEAB,2=3,1=2,DG平分EDF,(3),BDG与DFG,1=B,1=3,3=B,BD=DC=DG,BGCG,19、如图，RtABC中，C=90，AB=2 点P为BC上一动点，PDAB,PD 交AC于点D,连结AP (1)求AC、BC的长 (2)设PC的长为x, ADP的面积为y,当x为 何值时，y最大？并求出最大值。,解：C=90,AC=2,PDAB,tanB=tanDPC,20、(2010资阳)如图，在直角梯形ABCD中，已知ADBC， AB=3，AD=1，BC=6，A=B=90. 设动点P、Q、R在 梯形的边上，

17、始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形， 且PQR的一边与梯形ABCD的两底平行.(9分) 当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的PQR (不必说明画法)； (2) 当点P在BC边或CD边上时，求BP的长.,解：,（1）如图所示,（2）如图，当点P在BC上时,作QEBC于E,DFBC于F,E,F,3,x,x,x,x,6-2x,四边形ABPD、BEQR是矩形 QEDF, PQR是等腰直角三角形,设BF=EF=QE=PB=x 则DF=AB=3,CE=2x,CEQCFD,（2）如图，当点P在DC上时,H,连结BP，作DHBC于H, PQR是等腰直角三角形,四边形PQBR是正方形 PRDH,设B

18、R=PQ=PQ=BQ=m 则CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1,CRPCHD,21、(2012四川巴中12分）如图，在平面直角坐标系 中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩 形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，tanACB= , 点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、 D重合），且CEF=ACB. 求AC的长和点D的坐标； 说明AEF与DCE相似； 当EFC为等腰三角 形时，求点E的坐标。,解：,四边形ABCO是矩形,AB=OC=16,B=90,点D与点A关于y轴对称,OD=OA=BC=12,D(12,0),OA=OD,OCAD,BCAD,解：,CA=C

19、D,4=3=2=1,又1+6=4+5,5=6,AEFDCE,解：,当EFC为等腰三角形时,有CE=CF、CE=EF、FC=FE三种可能情况,EFC为等腰三角形,当CE=CF时，1=CFE,1=CFE=2=3,这与CFE3矛盾,CE=CF不成立,当CE=EF时， AEFDCE,AE=CD=20,OE=AE-OA =20-12=8,E(8,0),当EF=CF时，ECF=1=3,CE=AE=OE+OA,OE2+162=(12+OE)2,又OE2+OC2=CE2,满足条件的点E的坐标为：E(8,0)、E( ,0),22、（2012四川宜宾）如图，在ABC中，已AB=AC=5， BC=6，且ABCDEF

20、，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿 B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。 （1）求证：ABEECM; （2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。,ABEECM,（1）证明：AB=AC,B=C,1,2,3,ABCDEF,B=1,1+2=B+3,3=2,（2）解：1=B=C， 且4C，14,1,2,3,4,5,当4=5时，AE=ME, ABEECM,CE=AB=5,BE=1,当1=5时，AM=ME,5=B,C=C,CAECBA,（3

21、）解：设BE=x,ABEECM,AEBC,EMAC,23、(2012自贡12分)如图，在菱形ABC中， AB=4,BAD=120,AEF为正三角形，点E、 F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不 与B、C、D重合。 证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动， 总有BE=CF; 当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化， 求出最大（或最小）值。,证明：,连接AC,四边形ABCD是菱形 BAD=120,AB=BC=CD=AB ADBC,ABCD,B=180-BAD=60,ABC是等边三角形,AC=AB,又AEF是正三

22、角形,AE=AF,1+2=2+3=60,1=3,ABEACF,BE=CF,作AGBC于G,四边形AECF的面积不发生变化,ABEACF,S四边形AECF=SABC,S四边形AECF=,CEF的面积有变化,作EHDC的延长线于H,设BE=CF=x 则EC=4-x,BAD=BCD=120,ECH=60,当x=2时， SEFC的面积最大为,24、在RtABC中，A=90,AB=6,AC=8,D、E 分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方 向运动，过点P作PQBC于Q,过点Q作QRBA 交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动，设 BQ=x，QR=y. 求点D到BC的距离DH的长； 求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的 取值范围） 是否存在点P，使PQR为 等腰三角形？若存在，请 求出所有满足要求的x的值； 若不存在，请说明理由。,解：,A=90，DHBC,A=BHD=90,B=B,BHDBAC,AB=6,AC=8,D是AB中点,BD=3,QRAB,CQRCBA,假设存在，仍然分 PQ=PR, PQ=RQ, PR=QR 三种情况解答,当A、P、Q三点在一条直线上时,点D、E分别是AB、AC的中点,AP=PQ,PQAB,A