不等式的综合问题

1、江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 18：不等式的综合问题：不等式的综合问题 填空题 1. 设实数 x,y 满足 38,49,则的最大值是_ 2 xy y x2 4 3 y x 【答案】27 2. 已知实数同时满足,则的取值范围是_., x y 5 427 6 xy 274 1 loglog 6 yx2741 yx xy 【答案】 5 6 3. 设 62, 22 baRba ,则 3a b 的最大值是_. 【答案】1 4. 定义在 R 上的函数是增函数,且函数的图象关于成中心对称,设, 满)(xfy )2( xfy)0 , 2(st 足不等式,若时,则的范围是

2、_.)4()4( 22 ttfssf22sst 3 【答案】 8,16 5. 设变量满足,则的最大值为_.yx,1| yxyx2 【答案】 2 6. 已知函数,对任意的,恒成立,则x的取值范围是 3 1 2 3 f xxx3,3t 20f txf x _. 【答案】 1 1, 2 7. 设若不等式对于任意的恒成立,则实数 的取值范， x xfRx) 2 1 ()(kxfxf)2()(Rxk 围是_. 【答案】2k . 8. 若对任意xR,不等式 2 3 32 4 xaxx恒成立,则实数a的范围_. 【答案】11a 9. 已知为正的常数,若不等式对一切非负实数恒成立,则的最大值为_.a 2 11

3、 2 xx x a xa 【答案】8 10.已知 f(x)= ,.若,则的取值范围是 2 22mxm0,mmR xR 12 1xx 1 2 () () f x f x 【答案】 22 , 2 2 1 11.若实数、满足,则的最小值为_.abcd1 43ln2 2 d c b aa 22 )()(dbca 【答案】 22 1 ln2 5 12.定义运算,则关于非零实数的不等式的解集为_.x 【答案】 1 ,00,2, 2 13.设P(x,y)为函数图象上一动点,记,则当m最小时,点 P 2 1yx(3)x 3537 12 xyxy m xy 的坐标为_. 【答案】 答案:(2,3). 法一 .

4、22 2 36310 13 xxxx m xx 2 2 31 6 13 xx xx 当且仅当,即时m取得最小,此时点的坐标为. 2 2 31 13 xx xx 2x P(2,3) 法二 . 332136 12 xyxy m xy 21 6 12 yx xy 当且仅当时取得最小值.下略. 21 12 yx xy m 14.已知,若,且,则的最大值为_.01alog (21)log (32) aa xyyxxy 【答案】 答案:-2. 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算.讲评时应强调对数的真数应大于 0.强调对数函 数的单调性与底数a之间的关系. 15.设实数x1,x2,x3,x4,x

5、5均不小于 1,且x1x2x3x4x5=729,则 maxx1x2,x2x3,x3x4,x4x5的最小值 是 _. 【答案】9 解答题 16.已知实数a,b0,求证: 3322 ()abab ab 【答案】（方法一）证明： 332222 ()()()abab abaaabbbba 55 ()()() abab 2432234 () ()() ()() ()()()() abaabababb 因为实数 a、b0， 2432234 ()0,()() ()() ()()()() 0abaabababb 所以上式0。即有 3322 ()abab ab。 （方法二）证明：由 a、b 是非负实数，作差得

6、332222 ()()()abab abaaabbbba 55 ()()() abab 当ab时，ab，从而 55 ()()ab，得 55 ()()() 0abab； 当ab时，ab，从而 55 ()()ab，得 55 ()()() 0abab； 所以 3322 ()abab ab。 17.某啤酒厂为适应市场需要,2011 年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011 年啤酒生产量 为 16000 吨,葡萄酒生产量 1000 吨.该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生产量比上一年减少 50%,葡萄 酒生产量比上一年增加 100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低? (

7、2)从 2011 年起(包括 2011 年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之 和的 2 3 ?(生产总量是指各年年产量之和) 【答案】解:设从 2011 年起,该车第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 n a吨和 n b吨,经过n年后啤酒 和葡萄酒各年生产量的总量分别为 n A吨和 n B吨. (1)设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为 n D吨,依题意, 1 16000(150%)n n a = 32000 2n , 1 1000(1 100%)n n b =500 2n,( * nN), 则 nnn Dab= 32000 2n +500 2n= 64 500(2 )

8、 2 n n 64 500 228000 2 n n , 当且仅当 64 2 2 n n ,即3n 时取等号, 故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低,为8000吨 (2)依题意, 2 3 n nn B AB ,得2 nn BA, 1 160001( ) 21 2 32000 1 2 1 2 n n n n A , 100012 1000(21) 12 n n n B , 1000(21) n 21 320002 2 n n , 210 n , 6 2642 n ,6n , 从第 6 年起,葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 2 3 18.小张于年初支出

9、50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都 比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元,小张在该车运输累计收入超过总支 出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售收入为万元(国家规定x25x 大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大? (利润=累计收入销售收入总支出) 【答案】(1)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元, xy 则, 256(1)50, (010)yxxx xxx，N 即

10、, 2 2050, (010)yxxxx ，N 由,解得, 2 20500 xx25102510 x 而,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出 325102 (2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手车后,小张的年平均利润为 , 2 11 (25)=(1925)yyxxx xx ) 25 (19 x x 而,当且仅当时等号成立. 2525 19()1929xx xx 5x 答:小张应当在第 5 年将大货车出售,才能使年平均利润最大, 19.某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据: 季 度 第一季 度 第二季 度 第三季 度 第四季 度 进货资金(单位:万元)

11、 42.638.337.741.4 试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金m”的值(m是这样的一个量: 它与各个季度进货资金差 的平方和最小); 该商场今年第一个季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%.经调研发现,销 售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润P(万元)和Q(万元)与进货资金t(万元)分别近似地满 足公式 1 4 Pt 和 20 20 t Q t ,那么该商场今年第一个季度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得 的利润最大?最大利润是多少万元? 【答案】解: (1) 设四个季度的进货资金分别为 1234 ,a a a a , 则 2222 1234 ()()()

12、()Mmamamama = 22222 12341234 42()()maaaa maaaa 所以当 1234 4 aaaa m 时,M最小 故所求的季拟合进货资金 42.638.337.741.4 40 4 m 万元 (2) 因为今年第一季度的进货资金为40 (1 25%)50 万元,设用于普通冰箱的进货资金为x万元, 则用于节能冰箱的进货资金为(50 )x 万元, 从而销售冰箱获得的利润为 120 (50) 420 x yPQx x (0 50 x ) 令 2020,70sx ,则 754007540035 ()2 24242 ss y ss 当且仅当 40s ,即 20 x 时, y 取

13、得最大值为 17.5, 所以当用于节能冰箱的进货资金为 30 万元,用于普通冰箱的进货资金为 20 万元时,可使销售冰箱的 利润最大,最大为 17.5 万元 (说明:第(2)小题用导数方法求解的,类似给分) 20.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则am 他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两 m ma n n na 种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 1 h 2 h 1 2 hh 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件

14、成本分别 为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为元和元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为， A m B mh乙 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为，h乙 （1）求和关于、的表达式；当时，求证：=；h乙h乙 A m B m 3 5 AB mmh乙h乙 （2）设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满 3 5 AB mm A m B m 意度为多少？ （3）记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和 0 h A m B m 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 0 hh 乙 【答案】【解析】(1)=,=, 12532

15、0 ABAB ABAB mmmm hh mmmm 乙甲 (3,12,5,20) AB mm 当时， 3 5 AB mm 2 3 5 =, 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 =, 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 显然 =hh乙 甲 (2)当时， 3 5 AB mm 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由，故当即时，甲乙两人同时取到最大 111 5,20, 20 5 B B m m 得 11 20

16、 B m 20,12 BA mm 的综合满意度为 10 5 （3） （方法一）由（2）知：= 0 h 10 5 由得：， 0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 1255 2 AB AB mm mm 令则，即：。 35 , AB xy mm 1 ,1 4 xy、 5 (14 )(1) 2 xy 同理，由得： 0 10 5 hh 乙 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 当且仅当，即 A m= B m时，取等号。 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy 1 4 xy 所以不能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立。 21.如图,