八年级数学上册 15.1 二次根式课堂导学案 （新版）冀教版

1、15.1 二次根式知识点1二次根式的概念(重点)一般地，把形如的式子叫做二次根式如，等都是二次根式 提示：对二次根式概念的理解应注意以下四点： (1)二次根式中都含有二次根号“”； (2)在二次根式中，被开方数a必须满足“a0，当a0时，式子不叫二次根式； (3)在二次根式中，a可以是一个数也可以是含字母的代数式； (4)二次根式(a0)是a的算术平方根，所以0 其中，(1)(2)是二次根式具备的两个重要特征例1 下列各式，哪些是二次根式?哪些不是二次根式?说明理由 (1)；(2)；(3)；(4)；(5) 解：因为，中都含有“”且被开方数大于0，所以是二次根式因为被开方数180，所以不是二次根

2、式因为不含“”，所以不是二次根式点拨要判断一个式子是不是二次根式，必须符合含有“”且被开方数是非负数这两个条件，只有同时满足这两个条件才是二次根式知识点2 二次根式的三个性质(难点)0(a0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值总结：与的性质的区别与联系如下表所示例2 计算(1)；(2)；(3)；(4)分析：(1)(2)题可利用性质进行计算；(3)(4)题可利用性质进行计算解：(1)；(2)；(3)；(4)注意当时，而知识点3 积的算术平方根积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因数的算术平

3、方根的积，即 注意：(1)a，b满足的条件是a0，b0要防止出现这样的错误(2)这个性质可推广，即例3 化简：(1)；(2)；(3)分析：(1)300=3102；(2)14112=27242；(3)(16)(19)=169=4232解：(1)(2) (3)点拨如果没有特殊说明，本章中根号内所有字母均表示正数所有符合这个公式的可直接应用公式对于第(3)个式子，先利用同号得正，化为两个正因数积的形式，再利用公式计算知识点4 商的算术平方根的性质(难点)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即注意：(1)在中a必须是非负数，b必须是正数才成立，如果a，b都

4、是负数，虽然有意义，但是、在实数范围内无意义，如，而若，则无意义(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如必须先化成，注意例4 化简：(1)；(2)；(3)；(4)分析：这类题可直接用来化简，但要注意当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数解：(1)；(2)；(3)；(4)点拨当被开方数中出现不完全平方数时，先把这个数分解因数如：54=69知识点5 最简二次根式(重点)一般地，如果一个二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式将二次根式化成最简二次根式的步骤：(1)根号下有带分数或小数的要把根号下的带分数

5、化成假分数，小数化成分数；(2)被开方数不是完全平方数时，看能不能先进行因数分解，能分解的先分解因数；(3)将被开方式中开得尽方的因数，用它的算术平方根代替后移到根号外；(4)化去分母中的根号，如果根号内的分母是一个平方数，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方；如果分母不能开得尽方，则被开方数中的分子、分母同乘一个适当的不为零的数，使分母成为一个平方数，其根据是分式的基本性质；(5)约分例5 下列各式中是最简二次根式的是( )ABC D解析：A中被开方式含有分母；B中含有能开方的8；D中含有(4)2即42，可以开方，C中的6不能分解为能开方的因数，故选C 答案：C点拨判断所给式子是否为最简二次根式，必须同时考虑两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式两者缺一不可例6 把下列各式化为最简二次根式：(1)；(2)；(3)；(4)分析：(1)应用化简；(2)先把0.125化为，再化简；(3)应用化简；(4)应用化简解：(1)；(2)；(3)；(4)点拨(1)在对二次根式进行化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另一个数的积的形式；(2)