微分几何 曲线的概念.ppt

1、2 曲线的概念,曲线是微分几何的主要研究对象，面且其研究方法 也适用于曲面论，所以学好曲线论是非常重要的 本节主要内容为 2.1曲线的概念 2.2光滑曲线 曲线的正常点 2.3曲线的切线和法线 2.4曲线的弧长 自然参数,2.1曲线的概念,几种观点 1、把曲线看成是两个曲面的交线 2、把曲线看成是动点运动的轨迹 3、用映射观点来定义交线 为此先介绍映射的有关知识,给出两个集合 和 ，如果集合 中的每一 个点（元素） ，有 中的点 和它对应，则 我们说给定了 到 的一个映射 ， 称为点 的像， 称为 的原像 对于任取集合 中的点 和 ，如果 时有 ，则称映射 是一一的（或单的） 如果 ，我们就说

2、 是从 到 的 在上映射（或称满的）,映射的有关知识,定义：如果一个开的直线段到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中映射的像称为简单曲线。 （得到的曲线无自交点） 例1：开椭圆弧的向量参数表示是,例2：圆柱螺线的向量参数表示是,例1和例2 分别是曲线的坐标式参数方程和向量式参数方程,对于曲线：r = r(t)，t的增加方向规定为曲线的正向.,定义：如果向量函数 在区间 上连续， 取坐标原点为 的始点，则其终点 所描述的图形 称为曲线 ，且称 为曲线 的向量式参数方程， 称 为曲线 的坐标式参数方程。,注：曲线的坐标式和向量式参数方程是不唯一。,2.2光滑

3、曲线 曲线的正常点,定义：如果曲线的参数表示式 或 中的函数是 阶连续可微的函数，则把这类曲线称 为 类曲线。当 时， 类曲线又称为光滑 曲线。,对于光滑曲线 ，假设对于曲线 上 有 则这一点称为曲线的正常点。 如果在一段曲线上 则 变成常向量，这 时曲线段缩成一点，所以一段曲线上 的点 是孤立点。 曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。 性质,1、在正常点附近的点也是正常点 证： 所以 由数分知识在某小邻域内 则有,2、在正常点附近曲线上的点可表示成 证：设 是正常点，则 则在小邻域内有 ，代入则得结论。,也可能其它表示,例若参数曲线 C: r r(t) a = const. , t

4、R ，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线；此时所有的参数值对应于图形实体的同一点这是非正则曲线的极端例子 例圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为 r(t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为 动点运动的圆周半径、角速率和向上速率此时 r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ， 说明该参数化使之成为正则曲线,2.3曲线的切线和法面,给出曲线上一点 点 ， 是 邻近一点，把线 绕 点旋转，使 点沿曲线趋近于 点，若割线 趋近于一定的位置，则我们把割线 的

5、极限位 置称为曲线在 点的切线，定点 称为切点。 对于曲线 ，称 为曲线在对应点 的切向量。,曲线上一点的切线方程,曲线上一点 对应的参数是 ， 点的向径 是 ， 是切线上任一点的向径， 因为 则得 点的切线的向量式方 程为 其中 为切线上的参数。,注：1、切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的。,2、正常点有唯一的切线,3、切向量与曲线的正向一致,切线的坐标式的方程,设 则切线方程消去 得到 这是坐标表示的切线方程。,法面：经过切点，而垂直于切线的平面称为曲线的法面。 曲线的法面方程： 设曲线上一点 ，对应的参数是 ， 点向径是 是法面上任一点的向径，则由 得到曲线的法面方程向量式为 若设

6、则由上述法面方程的坐标式为 （坐标表示的法面方程）,2.4曲线的弧长 自然参数,曲线的弧长 设 C: r r(t) , t(a, b) 考虑过点r(t0) 和 r(t0 t) 的割线 有,而正则性保证 r (t) 0 ，,当 t 0 时,定义：对于正则曲线 称积分 为曲线 从点 到 的弧长。 自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定 的这就是弧长参数（自然参数）。 1、弧长参数优越性 当s=t有 2、 r r(t)的参数是自然参数的充要条件是 3、弧长作参数是可以做到的。,例：圆柱螺线参数化为 r(t) (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 0 试求t=0计起到t的弧长,解：r(t) = (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) ，,参数变换 定义：对于曲线 给出函数 如果 ，则称 为曲线 的一个参数