第六章 位移法.ppt

1、,第六章 位 移 法,本章主要内容,6.1 位移法的基本概念 6.2 位移法的基本未知量数目的确定 6.3 用位移法计算刚架的步骤和示例 6.4 位移法典型方程,位移法：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力。,6.1 位移法的基本概念,力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同,力法：以多余未知力基本未知量,位移法：以某些结点位移基本未知量,力法和位移法的解题思路：,力法：,结构内力,结构位移,先求多余未知力,位移法：,先求某些结点位移,结构内力,而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。,以图示刚架为例来说明位移法的基本思路,1,2,3,EI=常数,P,刚架在荷

2、载P作用下将发生如虚 线所示的变形。,Z1,Z1,在刚结点1处发生转,角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。,1,P,Z1,2,其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理， 13杆可以视为一根一端 固定另一端铰支的梁（见图）。,1,3,Z1,可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。,由以上讨论可知，在位移法中须解决以下问题：,（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。,（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。,（3）如何求

3、出这些位移。,在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。 假定受弯杆两端之间的距离保持不变。,为了使问题简化，作如下计算假定：,B,等截面直杆杆端力计算回顾,杆端弯矩负号规则,杆端弯矩 ，一律以顺时针转向为正。,MAB,A,MBA,杆端弯矩的表示方法,用两个下标来标明该弯矩所属的杆件，第一个下标表示该弯矩所属的杆端,单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。,其中：,称杆件的线刚度。,为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为固端弯矩。,转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiff

4、ness) Equation,同理，另两类杆的转角位移方程为,A端固定B端铰支,A端固定B端定向,基本体系,如图所示两跨等截面连续梁，在荷载作用下发生变形,连续梁可以看成由AB、BC两根杆件在B点刚性连接，不考虑轴向变形，且有竖向链杆支撑，所以B点无水平位移和竖向线位移，设其角位移为Z1。汇交于该刚结点的两杆在杆端变形后具有与结点相同的转角。,Z1,那么AB、BC两端的杆端弯矩为：,由结点的平衡条件 得：,求得Z1后，代回原杆端弯矩的表达式中，即可求得各杆的杆端弯矩为：,杆端弯矩求出后可根据隔离体平衡条件（或利用表5-1）求出杆端剪力,利用B点平衡计算支座反力,内力求解出来后便可做出弯矩和剪力

5、图（见课本p122页）, 由结点平衡或截面平衡，建立方程；, 结点位移回代，得到杆端力。,总结一下位移法解题的步骤：, 确定结点位移的数量；, 写出杆端力与杆端位移的关系式；, 解方程，得到结点位移；,杆长为：L 未知量为：,例:,例：,未知量2个：,求FQBA,取BA杆,由,在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。,(1) 独立角位移数目的确定,由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，它们不是 独立的，可不作为基本未知量

6、。,这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架,1,2,3,4,5,6,独立的结点角位移数目为2。,8-2位移法未知量的确定,(2)独立线位移数目的确定,在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个独立线位移。例如(见图a）,1,2,3,4,5,6,4、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 。,P,(a),(b),将结构

7、的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。,(a),（3）位移法基本未知量数目的确定,结构结点的独立角位移和线位移数目之和,例2：,例1：,例3：,有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：,有四个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：,例4：,有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位

8、移均为零，因此该结构的未 知量为：,例5：,例6：,例7：,例8：,例9：,6.3 用位移法计算刚架的步骤和示例,原结构,用位移法计算如图所示的刚架,1）确定基本未知量,解：,刚结点的角位移Z1和点C的水平线位移Z2,2）写出各杆杆端内力,2）写出各杆杆端内力,3）利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某一部分的平衡条件建立求解未知量的方程组。,结点B力矩平衡,即,部分结构平衡,即,联立两式，得：,将 代回杆端内力表达式，即可求 得杆端弯矩和剪力值。再利用平衡条件即可求得各杆轴力。,杆长为：L,BA杆,BC杆,2. 写出杆端力的表达式,A,EI,B,C,EI,q,例1:,4. 解方程，得:,5. 把

9、结点位移回代，得杆端弯矩,6. 画弯矩图,M图,例2：,求FQBA,求FQBC,把FQBCFQBA代入方程中得：,6-4 位移法典型方程,位移法基本体系 1）基本体系单跨超静定梁的组合体。 （用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。 2）构造基本体系,（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂,阻止刚结点转动（不能阻止移动）；,（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆,阻止结点线位移（移动）。,原结构,如图所示刚架,在B点加入附加刚臂，在C点加入一根附加链杆，这样得到的无结点位移的结构，称为原结构的基本结构。,位移法的基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的超静定杆的综合体

10、。,基本未知量为:Z1、Z2 。,（1）每一刚结点加入附加刚臂以控制转角。因此，附加刚臂的数目等于刚结点的数目。,（2）加入一定数量的附加链杆以阻止各结点发生线位移。因此，附加链杆的数目等于各结点的独立线位移的数目。,选定基本结构, 如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。,位移法方程的建立,据叠加原理,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因,设以 r11、r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移 所引起的链杆上的反力，

11、则上式可写成,r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0,这就是求解Z1、Z2的方程，即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条件)。推广到n个未知量的情况：,r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0,其中，rii 称为主系数，rij(ij)

12、 称为副系数。RiP称为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (ij)。,由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。,r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,4i,为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表51，绘 出基

13、本结构在 以及载荷作用下的弯矩图,2i,3i,MP图,A,B,C,D,24kN/m,30kN,32kN.m,32kN.m,系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P；附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。根据结点B为力矩平衡求得，,用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表51查出杆端剪力，根据所取出的横梁BC部分受力平衡X=0求得,将系数和自由项代入典型方程有,解此方程得,所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。,最后弯矩图由叠加法绘制：,例如杆端弯矩MAB为,M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出。,结 论,由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：,(1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)， 并引入附加联系而得到基本结构。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结 构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩 或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作 用下(或支座位移、温度变化等其它