频率特性分析.ppt

1、,频率特性分析,(第四章),时域瞬态响应法：分析控制系统的直接 方法。,优点：直观。 缺点：分析高阶系统非常繁琐。,xo(t),xi(t),g(t),频率响应是时间响应的特例，是控制系统对,正弦输入信号的稳态响应，即系统在正弦信号的作用下，其输出量的稳态值随频率的变化规律。,频率特性是系统对不同频率正弦输入信号,的响应特性。,频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。,4.1 频率特性概述,频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可,以间接

2、地运用系统的开环频率特性去分析闭环,系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征,根。,系统的频域指标和时域指标之间存在着对,应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲,线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十,分方便、直观。,频域法是工程上广为采用的系统分析和综,合的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关,系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着,密切的关系。,机械受到一定频率作用力时产生强迫振动，,由于内反馈还会引起自激振动。机械振动学中的,共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概,念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。,频域法能简便而清晰地建立这些概念。,弹簧阻尼系统对正弦输入的稳态响应

3、,例：机械系统如下图所示，k为弹簧刚度系数，c为阻尼系数，当输入正弦力信号 f(t)=Fsint时，求位移x(t)的稳态输出。,k,c,f(t)=Fsint,解,该系统的传递函数为：,输入信号的拉氏变换为：,位移输出的拉氏变换为：,如果系统稳定，频率响应包含二部分：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应不是正弦波，趋于0；稳态响应部分，是与输入信号频率相同的正弦波，但幅值、相位不同。,取拉氏反变换，位移输出为,所以稳态位移输出为：,对于一般线性系统均有类似的性质。当输 入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦 信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号 的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传 递函数的不

4、同随着输入正弦信号频率的变化而 有规律的变化，如下图所示。,号的幅值之比,为系统的,幅频特性。 幅频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在幅值上的增益特 性（衰减或放大）。,频率特性的定义 设系统传递函数为 G(s) 。定义系统 输出信号的稳态响应相对其正弦输入信,A() = G(j),定义系统输出信号的稳态响应相对,为系统的相频特性。,相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞,其正弦输入信号的相移 () = G(j),后（ 0）特性。,的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。,上述定义的幅频特性 A() = G(j),和相频特性 () = G(j)

5、 统称为系统,频率特性实质上是在频域中系统的输出量与输入量之比值。,当输入为非正弦的周期信号时，其输,入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠,加，其输出为相应的正弦波输出的叠加，,如下图所示。,工程中上绝大多数周期函数都可以按傅氏级数法展开成叠加的离散谐波信号；非周期函数，也可按傅氏变换法展成连续的谐波信号。因此，用正弦信号作为统一的输入量来研究系统的频率特性是合理的。,可以表示成如下形式：,系统频率特性的表示形式 系统的频率特性函数是一种复变函数，,G(j)=U()+ jV() U()是G(j) 的实部，称为实频特性。 V()是G(j) 的虚部，称为虚频特性。,G(j) = (U() )2 +

6、(V( )2,G( ) = arctan,V(),U( ),频率特性函数也可以表示成如下形式：,j(),A() (),j,G(j) = A()e,A() 是 G(j) 的模，称为幅频特性。 () 是 G(j) 的相角，称为相频特性,= G(j) G(j),幅频特性实质上就是输出量的振幅与输入量的振幅之比值，相频特性实质就是输出量的相位与输入量的相位之差,j(),G(j)=U()+ jV() = A()cos()+ jsin()= A()e,矢量图表示如下 ：,函数 G(j) 就是系统的频率响应。频率响,的传递函数 G(s) 求得。,应是在 s = j 特定情况下的传递函数。,频率特性的求取解析

7、法 系统的频率特性函数 G(j) 可由系统,G(j) = G(s) s=j 将s平面的复变量 s = + j 的取值范,围限定在虚轴上，即 s = j 所得到的传递,G(j)的物理意义： 频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的复观能力或跟踪能力。在频率较低时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，频率较高时，输入信号就被抑制。对于实际系统，一般都有低通滤波及相位滞后作用。 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。在进行能量交换时，对不同的频率信号显示出不同的特性。 频率特性反应系统本身的特点。,G( ) = =,s,R+,1,Cs 1 Cs,1 RCs+1,C,ui(t),uo(

8、t),R,1 jRC +1,G(j) = G(s) s=j =,将 s 代之以 j ，即得到系统的频率特性 函数为,例 如下图所示系统，其传递函数为,可见，一阶系统输出量的振幅比输入量的振幅减小了，相位也滞后。,试求,例,的幅频特性,和相频特性。,G(j) = G(s) s=j,1. 频率特性的概念：,系统对不同频率正弦输入信号的 稳态响应特性称为频率特性。,2. 求取频率特性的解析方法：,小结,通常用图示法来表示频率特性，包括极坐标图和对数坐标图,乃奎斯特（H.Nyquist) 18891976，,美国Bell实验室 著名科学家,4.2 频率特性极坐标图,（乃奎斯特图，或乃氏图）,极坐标图是

9、反映频率特性的几何表示。 当从 0 逐渐增长至 + 时，频率特性 G( j) 作为一个矢量，其端点在复平面相 对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。,极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。,jV,G(j)= K,4.2.1 典型环节乃奎斯特图 1. 比例环节,G(j) = K G(j)= 0,G(j) =,1 j,2.积分环节 G(j)=,jV, 0,1 G(j)= 90 G(j0)= 90 G(j)= 090, = 0,jV, ,3.微分环节 G(j)= j,G(j) = G(j)=90,G(j0)= 090 G(j)= 90,First-order components,4.一阶惯性环节,1 j

10、T +1,G(j)=,G(j0)=10 G(j)= 090,5.二阶振荡环节,Second-order components,G(j0)=10 G(j)= 0180 相角0180，与负虚轴有交点。, = 0,jV,jT,6.延迟环节 G(j)= e,G(j) =1 G(j)= T,G(j0)=10 G(j)=1,相角0，与实轴和虚轴有无穷多交点。,(5) 必要时画出乃氏图中间几点；,(6) 勾画出大致曲线。,4.2.2 绘制乃奎斯特图的一般方法,的关系式求出，也可以利用关系式 G(j)= n180 （其中n为整数）求出；,的关系式求出，也可利用关系式 G(j)= n90 （其中n为奇数）求出；

11、,(1)写出 G(j) 和 G(j) 表达式； (2)分别求出 = 0和 = + 时的 G(j )；,(3)求乃氏图与实轴的交点，可利用 ImG(j)= 0,(4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用 ReG(j)= 0,当,增加，曲线距离原点越来越近，相角越来越负。, = 0 时， G(j)=10,当 = +时， G(j)= 0,其乃氏图与实轴和虚轴有无穷多交点，随着 的,例,绘制,奈奎斯特图,-0.5,0.5,1,-0.8,0.4 =0,=+,例 ：,的交点。,G(j)= 90arctan()arctan(2) 当 = 0 时， G(j)= +90 当 = +时， G(j)= 0270 其相角范围

12、从-90-270，因此必有与负实轴,例,即,两边取正切，得,所以曲线与负实轴交点的频率为,该交点距原点的距离为,解方程G(j)= 90arctan()arctan(2) = 180,arctan(2 ) = 90-arctan( ),1 ,2 =,-1,0,-12 -3,-6,0,其乃氏图如下图所示：,-1,-0.5,0,-0.1,0,0.1,(-0.67,j0),例,当g=0 时，称该系统为 0 型系统； 当g=1 时，称该系统为型系统； 当g=2 时，称该系统为型系统； ,系统的型次 机电系统的开环频率特性一般可表示为,各型乃氏图的低频段,对于0型系统，当时，幅角为-90(m-n),见P8

13、7图4-13,乃氏图的高频段 通常，机电系统频率特性分母的阶次,大于分子的阶次，故当 时，乃氏图,曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分,母的阶次等于分子的阶次，当 时，,乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。,一般在系统频率特性分母上加极点，,使系统相角滞后；而在系统频率特性分子,上加零点，使系统相角超前。,乃氏图的负频段, = +的乃氏图,令 从 增长到 0 ，,相应得出的乃氏图是,与从 0 增长到 +,得出的乃氏图以实轴 对称的，例如图5-3 所示的乃氏图。,1. 极坐标图（Nyquist图）的概念 2. 典型环节的Nyquist图,3. Nyquist图作图的一般步骤,4. 系统的型次，各

14、型次Nyquist图的特,点,4.2 节小结,作业思考题,已知系统传递函数如下，试画出其奈奎斯特图。,波德（H.W.Bode)， 19051982,美国Bell实验室 著名科学家,4.3 系统的对数频率特性,（波德图）,对数坐标图 是将 幅值 对频率的关系,和 相位 对频率的关系分别画在两张图上，,用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分,度，幅值和相角坐标则以线性分度。,对数坐标图也称波德图(Bode图)。,波德图的特点 （1）把幅频特性与相频特性分别用两个常用对数坐标图来表示。横坐标是按频率的以10为底的对数分度。但在以lg分度的横坐标上，只标注的自然数值。频率变化1倍，称为1倍频程，坐标间距

15、为0.301长度单位。频率变化10，称作10倍频程，坐标间距为1个长度单位。 （2）幅频特性的纵坐标为L()=20lgG(j)，单位为分贝，记作dB。 （3）相频特性的纵坐标代表G(j)的相位 ，单位为度,波德图幅值 L() 所用的单位 分贝 (dB) 定义为,L()= 20lg A(),幅频特性坐标,以 dec. (decade) 表示。,若 2 =101 ，则称从1 到 2 为十倍频程，,相频特性坐标,波德图的优点：,（1）将串联环节的幅值乘、除，转化为幅值的加、减，从而简化了计算过程。 （2）对环节的幅值波德图，可先用渐近线表示，然后再用修正曲线进行修正，简化了作图过程。 （3）若系统含

16、有多个环节，则可利用叠加法将各个环节的幅值波德图进行累加，从而得到整个系统的幅值波德图。,L() / dB,(),4.3.1 典型环节的波德图,G(j)= K,1. 比例环节,()= 0,L() = 20lgK,10,-1,10,0,10,1,10,2,10,-1,10,0,10,1,10,2,0 -90 -180,20lgK 0,1 j,G(j)=,()= 90,= 20lg,1 j,L() = 20lg,2.积分环节,L() / dB,(),10,0,10,1,-40 -1 10,40 20 0 -20,10,0,10,1,-270 -1 10,0 -90 -180,1 j,G(j)=,积

17、分环节,20lg,二重积分环节,2,1 (j),G(j)=,2,()= 180,= 40lg,1 (j),L() = 20lg,L() / dB,(),10,0,10,1,-40 -1 10,40 20 0 -20,10,0,10,1,-270 -1 10,0 -90 -180,2,1 (j),G(j)=,= 20lg (T) +1,1 jT +1,3.一阶惯性环节 G(j)=,2,1 jT +1,L() = 20lg,()= arctan(T) 在低频段， L() 0 () 0 在高频段， L() 20lg(T) () 90 用低频段和高频段的两条直线组成的折线 近似表示。,幅频特性,令,转

18、角频率,则,在低频段,在高频段,是一条截距为20lgT，斜率为-20db/dec的直线,L() / dB,(),1 jT +1,G(j)=,10,0,10,1,-20 -1 10,10 0 -10,10,0,10,1,-180 -1 10,90 0 -90,横坐标单位为1/T,4.一阶微分环节,在低频段， 在高频段，,导前环节,5.二阶振荡环节,在低频段， L() 0 () 0 在高频段，L() 40lg(T) () 180,P9192,是一条截距为40lgn，斜率为-40db/dec的直线,当n时，即在高频段，可得,T,6.延迟环节,()= ,= 20lg1= 0, j,L() = 20lg

19、e,4.3.2 波德图绘制一般方法,对一般系统,则,频率特性分析,可见，系统幅频特性的波德图可由各 典型环节的幅频特性伯德图叠加得到。 同理，系统相频特性的波德图亦可用 各典型环节的相频特性波德图叠加得到。,频域法的优点： 当系统无法用计算分析建立传递函数时，可用实验的方法求取频率特性，进而导出传递函数。 频域法的物理意义比较直观，尤其在研究控制系统中各种各样的振动问题时，频域法能给出明确的概念和结果。 利用奈氏判据,根据系统的开环频率特性就可以研究闭环系统的稳定性.,由于频域法靠各个频率分量来描述信号，只适用于线性定常系统。,例1：绘制下图所示的系统的开环波德图,Xi,Xo,该系统开环传递函

20、数由比例、积分、振荡、一阶微分四个环节组成,系统的开环频率特性为,已知系统的开环传递函数为 ，,其中K=10，T=0.087。绘制系统的Bode图。,解,系统的频率特性为,系统由比例环节、积分环节和惯性环节组成,各环节的参数,比例环节 K,积分环节,L()为过(1,0)、斜率为-20dB/dec的直线,例2,惯性环节,转折频率,分别画出三个典型环节对数幅频曲线的渐进线和对数相频曲线,即 G(j)=,该系统可认为由下列五个典型环节组成：,作业：绘制波德图,L() / dB,(),L(),20lg7.5,该系统的波德图如下图所示： -20dB/dec. -60dB/dec. -80dB/dec.

21、-60dB/dec.,L1() L5() L4() L2() L3(),(),5() 1() 4() 2() 3() 频率特性分析,4.3.2 一般系统波德图的作图方法(续),由此，可以看出波德图可由如下步骤形成：,(1) 将系统频率特性化为典型环节频率特性的乘积;,(2) 根据组成系统的各典型环节确定转角频率及相,应斜率，并画近似幅频折线和相频曲线;,(3) 必要时对近似曲线作适当修正。,真正画波德图时，并不需要先画出各环节波德 图，可根据静态放大倍数和各环节时间常数直 接画出整个系统波德图。,最小的。,4.3.3 最小相位系统 系统开环传递函数在 S 右半平面上既无极,点、又无零点的系统，

22、称为最小相位系统；否,则，为非最小相位系统。,对于相同阶次的基本环节，当频率 从 0 变到 + 时，最小相位的基本环节造成的相移是,最小相位系统的相频特性和幅频特性是一一,对应的，知道了系统幅频特性，其相频特性就唯,一确定。,最小相位系统幅频、相频特性对应关系,例,(T 1) +1,(T2) +1,系统1为最小相位系统，系统2为非最小相位系统。,两个系统的幅频特性一样，均为,2 2,G1(j) = G2(j) =,而其相频特性分别为,G1(j) = arctan(T 1)arctan(T2) G2(j) = arctan(T 1)arctan(T2),幅频特性,相频特性,具有相同幅频特性的系统

23、，最小相位系统的相角变化范围是最小的。,非最小相位系统在高频时的相角滞后大，启动性能不佳，响应缓慢。,1. 对数坐标图（Bode图）的概念 2. 典型环节的Bode图,3. Bode图作图的一般步骤,4. 最小相位系统和非最小相位系统的,定义及其特点,4.3 节小结,时间常数 静态放大倍数,频率特性曲线,传递函数,由伯德图的作图过程可知，幅频曲线的转 折点对应的频率是时间常数的倒数。 下面讨论如何确定静态放大倍数。,4.4 频率实验法估计系统的数学模型 许多系统的物理模型很难抽象得很准确， 其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对 于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特 性曲线，进而求出系统

24、的传递函数。,G0(j) K0 G0(j0) = K0,在低频时， 很小,可见，0型系统幅频特性波德图在低频处的高度 为 20lgK0 ，例如下图所示的低频段。,确定0型系统波德图低频段的高度，即增益K,G1( ) ,j,确定I型系统波德图低频段的高度,K1 j G1(j) K1,可见，如果系统各转角频率均大于1，I 型系统,在低频时， 很小,幅频特性伯德图在 =1处的高度为20lgK1；如果 系统有的转角频率小于1，则首段-20dB/dec.斜,率线的延长线与 =1线的交点高度为 20lgK1 ， 如图4-38所示。,1,1,频率特性分析,频率特性分析,确定 II 型系统波德图低频段的高度,

25、G2(j1) = K2,在低频时， 很小 G2(j) ,可见，如果系统各转角频率均大于1，II 型系统,幅频特性伯德图在 =1处的高度为20lgK2；如果 系统有的转角频率小于1，则首段-40dB/dec.斜,率线的延长线与 =1线的交点高度为 20lgK2 ， 如图4-39所示。,频率实验法估计系统的数学模型,根据系统的波德图确定传递函数的布骤如下,（1）根据低频段对数幅频特性渐进线的斜率确定系统中含有积分环节的个数。当低频段对数幅频特性渐进线的斜率为-20ndB/dec时，系统即为n型系统，含有n个积分环节,（2）根据低频段确定系统的增益K,(a) 0型系统 对数幅频特性曲线低频部分是一条

26、水平线，如图所示,(b) I型系统,对数幅频曲线低频部分是斜率为-20dB/dec的直线，增益K等于该渐进线与0dB线交点处的斜率，即K=，如图所示,I型系统的Bode图,II型系统,对数频率曲线低频部分是斜率为40dB/dec的直线，增益K的平方根等于该渐进线（或延长线）与0dB线交点处的频率，即,II型系统的Bode图,（3）根据对数幅频特性渐进线在转折频率处斜率的变化，确定系统的串联环节,（4）进一步根据对数幅频特性的形状及参量，计算二阶振荡环节中的阻尼比,例1 实验得到的系统对数幅频特性曲线如下图所示。确定系统的传递函数,解,低频段为水平直线，不含积分环节，为0型系统,根据低频段确定系

27、统的增益K,根据对数幅频特性渐进线在转折频率处斜率的变化，确定系统的串联环节,过点1斜率增加-20dB/dec，含有一个惯性环节 ，,由过点2成水平线可知，斜率增加了20dB/dec，所以含有一个微分环节T2s+1，,由过点3成水平线可知，斜率又增加了20dB/dec，所以含有一个微分环节T3s+1，,由过点4变成水平线，斜率增加-20dB/dec，含有一个惯性环节,由此得系统的传递函数为,例2 已知系统的开环对数幅频特性曲线如图4-38所示，求系统的开环传递函数G(s)。,提示：,的时间常数T=0.25,例3某最小相位系统的开环频响数据如下，试画 出其对数幅频特性，并确定其传递函数 系统的幅

28、频特性曲线：,2,用折线逼近曲线得：G(s) =,K(T2s+1) s(T1s+1),由 G(j1) = 20lgK 得：K 31.6,由图测得转角频率： 1 3.7 rad/s, 2 28.5 rad/s,则： T 1 =1 1 0.27s,T2 =1 2 0.035s,所以所测系统的传递函数近似为：,2,G(s) =,31.6(0.035s+1) s(0.27s+1),例,下图实线是某系统用实验测出的频率特性 波德图，试求该系统的传递函数。 由幅频特性低频段可见，该 系统为 0 型系统,且 K0 =1。 用折线作为渐近线逼近幅频 特性曲线，其高频段斜率为 -40dB/dec.，两个转角频率

29、为 1 =1rad/s, 2 2.4 rad/s 由上可知，该系统为二阶。 又相频特性小于 -180，故 系统存在延迟环节。,系统频率特性具有如下形式：,G(j) =,由图可见，,取,则系统传递函数为,G(s) =,4.4节小结 由频率特性求传递函数：,时间常数 静态放大倍数,频率特性曲线,传递函数,0型系统伯德图低频段高度的确定 I型系统伯德图低频段高度的确定 II型系统伯德图低频段高度的确定 注意根据相频与幅频特性对应关系确定其 是否为最小相位系统。,获得频率响应特性的方法,(1) 如果已知系统的传递函数，可将系统传,递函数中的 s 代之以 j ，即得到系统的,频率特性函数。,(2) 如果

30、已知系统的微分方程，可将输入变 量以正弦函数代入，求系统的输出变量 的稳态解，输出变量的稳态解与输入正 弦函数的复数比即为系统的频率特性函 数。,(3) 可以通过实验的手段求出。,实验法获得频率响应特性,频率特性的实验求取,图4-7 机械角位移正弦函数发生装置,图4-8 电液正弦位移激振装置,图4-9 电液正弦位移激振装置工作原理,图4-12 增益-相位计,图4-13 传递函数分析仪,系统输入一个单位脉冲，则相当于用等单位强度,的所有频率去激发系统。,说明 (t) 隐含着幅值相等的各种频率。如果对某,单位脉冲函数的傅氏变换象函数等于1，即 F(t)=1,系统单位脉冲响应的傅氏变换即为系统的频率

31、特,性。单位脉冲响应简称为脉冲响应，脉冲响应函,数又称为权函数。,当 xi(t) =(t) 时，系统传函等于其输出象函数 j,采样足够多的点，借助计算机，用多点求和的方,法即可近似求出系统频率特性，即,随时间增长逐渐趋于零。因此，可以对响应 g(t),为了识别系统的传递函数，我们可以产生一, jt 0 对于渐近稳定的系统，系统的单位脉冲响应,个近似的单位脉冲信号 (t) 作为系统的输入，记,录系统响应的曲线 g(t),则系统的频率特性为,G(j) tg(nt)e,jnt,N1 n=0,N1 n=0 = Re()+ jIm() G(j) = Re2()+Im2(),Im() Re(),G(j)

32、= arctan,频率特性函数的求取方法： 1.根据系统的传递函数求取 2.根据系统的微分方程求取 3.实验方法：,输入不同频率的正弦信号 输入脉冲信号,4.5节小结,4.6 Log magnitude-phase plots （Nichols Chart）,N.B.Nichols， 美国Taylor仪器公司 工程师， 二战期间参与MIT雷 达及火炮控制研究。 控制工程基础,控制工程基础,对数幅相特性图 (Nichols图) 是描述 系统频率特性的第三种图示方法。 对数幅相图纵坐标表示频率特性的对 数幅值，以分贝为单位；横坐标表示频率 特性的相位角。,对数幅相特性图以频率 作为参变,量，用一条

33、曲线完整地表示了系统的频率 特性。,典型环节的对数幅相图,积分环节,一阶惯性环节 控制工程基础,相位超前环节,延迟环节 控制工程基础,控制工程基础,控制工程基础,4.7 Closed-loop frequency-response of control systems,4.7.1 由开环频率特性估计闭环频率特性,4.7.2 系统频域指标,一、应用开环Bode图估计闭环频率特性 二、应用开环乃氏图求闭环频率特性 三、应用开环Nichols图求闭环频率特性,Xo(j) G(j),Xi(j) 1+G(j),Xo(j) G(j),Xi(j) 1+G(j),Xo(j) G(j),=,G(j) 1,=,1

34、,低频时,高频时,G(j) 1 = G(j) Xi(j) 1+G(j) 控制工程基础,Estimating the closed-loop frequency-response characteristic by the,open-loop frequency-response characteristic,对于单位反馈系统，,控制工程基础,图4-43 系统开环及闭环幅频特性对照,控制工程基础,由开环频率特性求出闭环频率特性。,对于单位反馈系统，设前向通道传递函,Xo(s) Xi(s),=,G(s) 1+G(s),数为 G(s)，则其闭环传递函数为,二、应用开环乃氏图求闭环频率特性 另外，我们

35、可以利用等 M 圆和等 N 圆,控制工程基础,在下图所示的乃奎斯特图上，向量 OA 表 示G(jA)，其中 A 为 A 点频率。 向量 OA的幅值为 G(jA) ，向量 OA 的相 角为 G(jA) 。 由点 P(1, j0) 到 A 点的向量 PA 可表示 为 1+G(jA) 。,控制工程基础,G(jA),1+G(jA),控制工程基础,向量OA与PA之比正好表示了闭环频率特性，即,OA PA,Xo(jA) Xi(jA),= =,在 =A处，闭环频率特性的幅值就是向量 OA,与 PA 的幅值之比，闭环频率特性的相角就是两 向量的相角之差，即夹角 ，如上图所示。,当系统的开环频率特性确定后，根据

36、上图就可,求出闭环频率特性。,j(),Xo(j) Xi(j),= M ()e,类似于地图上等高线的思路，我们可求出 闭环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹 ，在由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系 统校正时，这将带来方便。 控制工程基础,设闭环频率特性的幅值为M () ，相位角 为 ()，闭环频率响应可表示为,X +Y,(1+ X) +Y,M =,X +Y,(1+ X) +Y,控制工程基础,则,2 2,2,2,M =,=,X + jY 1+ X + jY,设G(j) = X + jY，式中X 和Y 均为实数，,Constant-magnitude Loci (M circles),2 2,2,2,2

37、,上式两边平方，可得,2, +Y =,X +,M 1, ,M,(M 1),M,M 1,M 1,控制工程基础,如果 M = 1，由上式可求得 X = -1/2 ，即为,通过点 (-1/2，0) 且平行虚轴的直线。,该式就是一个圆的方程，其圆心为,，如下图。,2,2, j0 ，半径为,M 2,2,2,2,2,M 2 2,如果 M1，上式可化成,控制工程基础,控制工程基础,在复平面上，等 M 轨迹是一族圆，对于,给定的 M 值，可计算出它的圆心坐标和半,径。下图表示的是一族等 M 圆。,当M 1时，随着M的增大，M圆的半径,减小，最后收敛于点 (-1, j0)。当M1时，,随着M的减小，M圆的半径亦

38、减小，最后,收敛于点(0, j0)。当M=1时，其轨迹是过点,(-1/2, j0) 且平行于虚轴的直线。,控制工程基础,arctan,N = tan arctan,arctan,控制工程基础,Constant phase-angle loci (N circles) 1+ X + jY, = arctan,Y Y X 1+ X,即,Y Y X 1+ X , ,Y Y 1+ X Y Y X 1+ X,=,Y X 2 + X +Y 2,设 tan = N ，则,1 ,1 ,1 1 , , ,j,1 1 ,+ 的圆。,控制工程基础,2 2 Y N,下图表示的是一族等 N 圆。,2,2 2 X + +

39、 Y = + 2 2N 4 2N ,配方整理，可得, ,2,4 2N ,由上式可看出，等相角轨迹是一个圆心, 1 1 为 2 2N ，半径为,控制工程基础,控制工程基础,对于给定值的等N 圆，实际上并不是一,个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由,于与180的正切值是相同的, N,圆对应的具有多值性，例如=-35与,=145对应的圆弧是相同的。,控制工程基础,应用相同的比例尺，将等M 圆和等N 圆,绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相,同比例尺绘制的系统开环传递函数乃奎斯,特图上，乃奎斯特图与等M圆和等N圆的,交点所对应的幅值与相角由M圆和N圆的,参数决定，对应的频率由开环乃奎斯特图,决定，这样

40、即可求出闭环频率特性。找出,环频率特性曲线。,G(j) 与M圆和N圆的交点，就可绘出闭,控制工程基础,控制工程基础,仿照上述等M圆和等N圆的思路，在对,数幅相特性图上作出等M圆和等N圆，,由它们轨迹构成的曲线称为尼柯尔斯,图线。,尼柯尔斯图线对称于-180轴线，每,隔360, M 轨线和N 轨线重复一次，,且在每个180的间隔上都是对称的。,三、应用开环Nichols图线求闭环频率特性,控制工程基础,在由开环频率特性确定闭环频率特性 时，应用相同的比例尺，将尼柯尔斯图线 绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相 同比例尺绘制的系统开环传递函数对数幅,幅值确定。,相图上，则开环频率特性曲线 G(j)

41、与M 轨线和N 轨线的交点，就给出了每一频率 上闭环频率特性的幅值M 和相角。 若G(j) 轨迹与M轨线相切，切点处频率 就是谐振频率，谐振峰值由M轨线对应的,控制工程基础,控制工程基础,闭环频率特性的谐振峰值为 Mr=5dB ，而谐振 频率 r = 0.8rad/s 。,由于 G(j) 轨迹是与M = 5dB的轨迹相切，所以,1.21.4rad/s之间，采用插值计算可大致确定闭 环截止频率为b =1.3rad/s 。,此外 G(j) 与 M= -3dB 轨迹交点的频率在,闭环频率特性曲线如图(b)所示。,例 一单位反馈系统的开环传递函数为 1 s G(j) 轨迹与 M 轨线和 N 轨线，如图

42、(a)所示。,控制工程基础,控制工程基础,在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画出,G(j)H(j) 的轨迹，由轨迹与M 轨线和N 轨线 G(j)H(j) 的交点，就可得到 1+G(j)H(j)的某一频率下 的幅值和相角。,对于非单位反馈系统，其闭环频率特性可写为 = = ,Closed-loop frequency characteristics of non-unit,feedback systems,1 j,由开环频率特性估计闭环频率特性:,一、应用开环Bode图估计闭环频率特性 二、应用开环乃氏图求闭环频率特性 三、应用开环Nichols图求闭环频率特性 控制工程基础,4.7.1 小结

43、,系统频域性能指标,零频幅值M(0),频率接近于0时，系统输出的幅值与输入幅值之比。,复现带宽频率M,若事先规定作为反映低频输入信号的允许误差，就是幅频特性M与M(0)之差第一次达到时的频率值,控制工程基础,系统频域性能指标,开环频率特性幅值为 1 对应的频率。,开环剪切频率 c ：,产生谐振峰对应的频率。,闭环谐振频率r ：,谐振频率处幅值的大小。,闭环谐振峰值 M r：,对数幅频特性的幅值下 降到-3dB时对应的频率。,闭环截止频率 b ：,统的质量块在输入力 f (t)作用下产生的输出位移,为 y(t)，其传递函数为,系统的频率特性为,之间的关系，如下图所示。,该式反映了动态作用力 f (t)与系统动态变形 y(t),一个典型的由质量-弹簧-阻尼构成的机械系,机械系统动刚度分析,实质上G(j)表示的是机械结构的动柔度(j)， 也就是它的动刚度 K(j) 的倒数，即,即该机械结构的静刚度为 k 。,当 = 0时,当 0时，我们可以写出动刚度的幅值,其动刚度曲线如下图所示。,将其代入幅频特