《几何与代数》几何空间.ppt

1、教学内容和学时分配,第三章 几何空间, 引言,几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和费马建立的平面解析几何.,解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.,解析几何为微积分的出现创造了条件.,几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具.,1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何.,一. 空间向量的线性运算,二. 共线、共面向量的判定,3.1-2 空间向量及空间坐标系,第三章 几何空间,三. 空间坐标系,四. 空间向量线性运算的坐标表示,五. 空间向量的数量积,1. 向量的概念及其表示,1). 向量：,2). 向

2、量的长度或模：,3). 自由向量：,4). 相等向量：,5). 负向量：,6). 零向量：,既有大小又有方向的量,只考虑向量的大小和方向不计较起点位置,长度相等且方向相同,长度相等且方向相反,方向相同或相反,8). 平行(共线)向量：,7). 单位向量：,长度为1,一. 空间向量的线性运算,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,2. 向量的加法,1). 平行四边形法则,2). 三角形法则,3). 运算性质:, 结合律, 交换律,首尾相接, 多边形法则,向量的减法,运算性质:,三角不等式,（减数指向被减数 ）,（后项减去前项 ）,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3.

3、 向量与数量的乘法（数乘）,1). 定义： m,注: m = m = 0 或 = .,2). 运算性质, (1) = ., 单位向量：长度为1的向量,模：,方向：,非零向量的单位化：, 分配律, 结合律, 向量的伸缩,/,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,例1. 设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, AP与BQ交于点M. 证明:,A,B,C,M,P,Q,往证点S与点T重合, 即,证明：可知,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,1. 向量的概念及其表示：方向和大小,2. 向量的加法,向量的减法,平行四边形、三角形、多边形法则,3. 数乘,向量的伸缩,向量的

4、单位化：,一. 空间向量的线性运算,3.1-2 空间向量及空间坐标系,二. 共线、共面向量的判定,三. 空间坐标系,四. 空间向量线性运算的坐标表示,五. 空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,二. 共线、共面向量的判定,1. 共线、共面向量的定义,二. 共线、共面向量的判定,2. 共线的判定,定理3.1 设向量1, 向量2与1共线 存在唯一的实数k使得 2 = k1.,推论3.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = .,注：向量1,2不共线 k11+k22 = 只有零解，即 k1=k2=0.,注：设向量1, 向量2与1共线

5、2可由1唯一的线性表示.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,二. 共线、共面向量的判定,推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零 的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .,注：若向量1,2 不平行, 则向量3与1,2共面 3可由1,2 唯一的线性表示.,1,3,2,3. 共面的判定,定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面 存在唯一的有序实数组(k, l), 使得,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3 = k1+l2.,定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面 存在唯一的有序实数组(k, l),

6、使得3 = k1+l2.,推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零 的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .,注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0, 3可由 1,2唯一的线性表示.,推论3.2 向量1, 2 , 3共面 1,2 ,3 线性相关., 1,2 ,3 线性无关,3. 共面的判定,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,例2.,3.1-2空间向量及空间坐标系,二. 共线、共面向量的判定,2与1 ()共线 唯一实数k使得2 =k1 2可由1唯一线性表示 2与1 共线 不全为零的

7、k1,k2使得k1 1+k22= 2与1 线性相关,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示 3与1,2 线性相关,重点和难点,在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.,在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.,在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示.,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理3.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量 都存在唯一的有序 实数组(x, y

8、, z), 使得 = x1+y2+z3.,实数k1, k2 , k3, 使得=k11+k22+k33.,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示 3与1,2 线性相关,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,定理3.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,唯一性：,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,右(左)手仿射坐标系., = x1+y2+z3= (x, y, z),1.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量) ;,三.

9、空间坐标系,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,2. 空间直角坐标系,坐标分解式:,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则 k1+k2,= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2x1, y2y1, z2z1).,=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2, k1z1+k2z2).,后项减前项,四. 空间向量线性运算的坐标表示,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,第三章

10、 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,2. 向量的加法,平行四边形、三角形、多边形法则,3. 数乘,向量的伸缩,向量的单位化：,一. 空间向量的线性运算,3.1-2 空间向量及空间坐标系,二. 共线、共面向量的判定,三. 空间坐标系,四. 空间向量线性运算的坐标表示,五. 空间向量的数量积,1. 直线上任一向量都可由一个非零向量唯一的线性表示.,2. 平面上任一向量都可由两个不共线向量唯一的线性表示.,3.空间中任一向量都可由三个不共面向量唯一的线性表示.,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示 3与1,2 线性相关,1. 两个非零向量之间的夹角,2. 投影的概念,(注意投影是一个有正

11、负的数),五. 空间向量的数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,u,投影的性质,当| =| |=1,= k1 + k2,= + ,与,共面唯一实数k1,k2使,思考题：当,不是单位向量时k1,k2与 ,的关系如何？,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.,称为数量积,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,3. 两个向量的数量积(点积、内积),1). 物理背景,2). 两个非零向量之间的夹角,3). 数量积的定义,注: = 0

12、 = 或 = 或( , , ), ,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,4). 内积的性质,(1)正定性: 2= =|20且2= 0 = ,(2)对称性: = ,(3) (m) = m( ) = (m),(4) 分配律：(+) = + ,(5) 线性性：(k+l) = k + l ,(6) Schwartz不等式：| | | |,(7) 三角不等式:|- | | | |+|,(8) | + |2 + |-|2 = 2 (|2 + |2),注: 数量积不满足消去律, 即 = , =.,应为 (- )=0 (- ).,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,(2)设 = (

13、x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则,5). 直角坐标系 下向量内积的计算,例5.已知|=3, |=6, (,)=/3, (3 ) (+2), 求.,解： (3 ) (+2)=0, 3 2 + (6) 2 2=0, 39+(6)| |cos/3 236=0, 8181=0 =1., = 2 = x12 +y12+z12,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系, = x1x2+y1y2+z1z2,6). 模、夹角、距离公式,(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P

14、1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为, = x1x2+y1y2+z1z2,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,7). 方向角、方向余弦和方向数,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角;,方向余弦: cos, cos, cos,方向角的余弦称为此向量的方向余弦.,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,(3)方向数c1,c2,c3:,注2：cos2 + cos2 + cos2 = 1.,(2)向量 的方向余弦,注1：方向余弦唯一，但方向数不唯一.,与方向余弦成比例的一组数,第三章 几何空间,3.1-2空间向量及空间坐标系,例6.向量1=(1,2,3), 2=(1,0,0), 3=(1,1,3), =1+2 +3, 求|, 的方向余弦、方向数, =(,3).,解：=1+2 +3=(3,3,6),的方向数: 3,3,6; 或者1,1,2; 通式为k,k,2k (k0),第三章 几何