第二章随机变量.ppt.ppt

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一节 随机变量的概念,第二章 随机变量及其分布,第二节 离散型随机变量,第三节 连续型随机变量,第四节 随机变量的分布函数,第六节 二维随机变量及其分布,第七节 随机变量的独立性,第八节 多维随机变量函数的分布,第五节 一维随机变量函数的分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一节 随机变量的概念,第一节 随机变量的概念,引例1 掷一颗均匀的骰子,样本空间由6个样本点 组 成(i=1,2, ,6).由于等可能性,易知 .观察骰子 出现的点数,记为 ,则 可能的取值为i=1,2, ,6. 当样 本点 出现时, ;当样本点 出现时, 等等;因此, 可看成是

2、定义在样本空间上的函数,其定义域为样本空间, 值域为实数域 ,即 ; 此外,当 取值域 上的任一 可能值 时,事件 都有确定的概率 , 等等;一般地,有 . 从集合的角度来看, 是原像,而 是映象,通常称 为自变量, 称为因变量,由于原像以一定的概率随机 出现,故映象也以一定的概率出现,即 是随机取值的因变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,0,1,2,3,4,5,6,一般地有,引例2 掷两颗均匀的骰子,其中i,j分别表示第一颗、第二颗骰子出现的点数 由于等可能性, ;现在观察两颗骰子的点数之和,设为,单值对应,样本空间由36个样本点 组成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 可能的

3、取值为:2,3, ,12.如当样本点 发生时,有 ;当样本点 或 发生时,有 ;当点 发生时,有 等等;因此 可看成是定义在样本空间上映射到实数域 的函数,即 .集合相当于定义域, 相当于值域.此外,由于样本点 (原像)以一定的概率随机出现,故 取值域 上的任一可能值 时,事件 有确定的概率,如 ;即 是随机出现的变量.,2,3,11,12,多值对应,随机变量的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,你在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X; 一月内某交通路口的事故数X；用天平秤量某物体的重量的误 差X；随意在市场上买来一台电视机，其使用寿命

4、X等等，都 是随机变量.若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来,列 成一个表格，则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表 示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容 这是因为,对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所 研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变 量.当然,有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件,随机变量的例子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者, 以及年收入在8000元以下的低收入者,各自的比率如何,这看 上去像是两个孤立的事件.可是,若我们引进一个随机变量X:

5、X随机抽出一个人观察其年收入情况 则X是我们关心的随机变量.上述两个事件可分别表为X10 万和X0.8万这就看出：随机事件这个概念实际上是包容 在随机变量这个更广的概念之内也可以说：随机事件是从 静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观 点，一如数学中的常量与变量的区分那样变量概念是高等 数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一 些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基本概念 就是随机变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,随机变量的分类,思考题引入适当的随机变量描述下列事件： 1. 将3个球随机地放入三个格子中,事件A=有1个空格, B=有2个空格，C=全有球

6、。 2. 进行5次试验,事件D=试验成功一次,F=试验至少 成功一次，G=至多成功3次,随机变量,【解答】,【解答】,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1 解 设X=出现的空格子数,则X=0,1,2 于是 X=0=C=全有球, X=1=A=有1个空格子, X=2=B=有2个空格子,【返回】,2 解 设X=试验成功的次数,则X=0,1,2,3,4,5. 于是 X=1=D=试验成功1次, X1=F=试验至少成功1次, X3=G=试验至多成功3次,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一. 定义与性质,二. 经典例题,三. 常见分布,第二节 离散型随机变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1定义

7、 若随机变量 取值 且取这些值的概率依次为 ,则称 为离散型随机变量，而称 为 的分布律或概率分布。可表为,注意事项,求分布律时,先要确定随机变量取哪些值,再计算它以多大的概率取这些值,关键在于找出所有的原像,即要非常清楚随机试验的所有各种可能的结果.,一. 定义与性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的概率。,2. 分布律的性质,二. 经典例题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.一台设备由三大部件构成,在设备运转的过程中各部件需 要调整的概率分别为0.1、0.2和0.3;假定各部件的工作状态是相

8、互独立的,用X表示同时需要调整的部件数,求X的分布律.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 某产品中恰有8件合格品2件次品,每次从中 任取一件进行检查,直到查到正品为止.分别按 有放回和不放回抽样,求所需抽取数的分布律.,解 (1) 不放回抽样 设所需抽取数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3;于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 有放回抽样 因每次抽取的样品放回,故所需抽取次数X的 可能取值为一切正整数,而且每次取样过程都 是独立的,故每次取到次品的概率为2/10=1/5; 每次取到正品的概率为8/10=4/5.于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 一袋装

9、有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码, 求X的概率分布.,解 随机变量X的可能取值为3,4,5,而且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 设有随机变量X的分布律 试确定常数b.(N为已知常数),例6 设有概率 问它是否为某一随机变量X 的分布律?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习作题,1 对某一目标进行射击,直到击中为止,若每次射击的命中 率为p,求射击次数的分布律(概率分布).,2 某射手有5发子弹,连续射击直到击中或子弹用尽为止, 若每次射击的命中率为0.9,求耗用的子弹数X的概率分布.,3 设有随机变量X的分布律 试确定常

10、数p.,【解答】,【解答】,【解答】,机动 目录 上页 下页 返回 结束,【返回】,【返回】,也可用完备性求解,【返回】,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三. 常见的离散型分布,1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) 或,（一）伯努利(Bernoulli)概型与二项分布,(1)抛硬币试验:抛一枚硬币,用X表示观察的正面次数,则 X的可能取值为0,1,且p=0.5 。 (2) 产品的抽样:在产品的一次抽样中,用X表示观察到的次 品数,则X的可能取值为0,1。,直观解说,（只有两种可能结果的随机试验，为贝努利试验）,机动 目录 上页 下

11、页 返回 结束,若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作XB（n,p),其分布律为：,定义 设将试验独立重复进行n次,每次试验中,事件A发生的概率均为p,则称这n次试验为n重伯努利试验。,2.二项分布,二项分布实质上是n重伯努利试验的概率分 布,在第一章已对它进行了详细的研究, 其中有三大要素:n、p、k。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 常见题型,例1.某射手对目标独立射击5次,每次命中目标 的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.从甲地飞往乙地,有两种飞机可供选择,一种是有两个发动

12、机,另一种是有四个发动机.设每个发动机出故障的概率等于p, 且各发动机是否出故障是相互独立的,无论哪种飞机都必须至 少有半数或半数以上的发动机在正常工作才能保证飞机从甲地 安全到乙地.为了安全,你将选择哪一种飞机从甲地飞往乙地?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 某车间有同类设备20台,由一人负责维修工作.若每台设 备发生故障的概率为0.01且各台设备工作是相互独立的,求 有设备发生故障而不能及时维修的概率;如果3人共同负责维 修80,那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 从某大学到火车站途中有6

13、个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯 的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 在参加人寿保险的某一年龄组中,每人每年的死亡率为0.001,现有属于这一年龄组的3000人参加了保险.试求(1)在未来的一年里,投保者中恰好有15人死亡的概率;(2)如果投保人在一年的第一天交付10元保险金,死亡时家属可以从保险公司领取2000元,求保险公司亏本的概率.,解 设X表示在未来的一年里,投 保者中死亡

14、人数,则X服从二项 分布,即XB(3000, p).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习作题. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击 400次，试求其命中次数不少于2的概率。,4. 二项分布的最大值及近似计算,解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0PX1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,1) 二项分布的最大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 二项分布的近似计算 泊松定理 设随机变量,上题用泊松定理取 =np(400)(0.02)8, 故近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996

15、981.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式 即可得到 结 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（二 ） 泊松(Poisson)分布P(),1. 定义3 设随机变量X的概率函数为,则称随机变量X服从泊松(Poisson)分布, 记作XP(), 其中是分布的参数.,直观解说,(1)泊松分布为二项分布的近似值. (2)泊松分布常见于稠密性问题中,如在一段时间内电话交 换台接到的呼换次数;公共汽车站候车的旅客数;售票口 到达的顾客数,保险公司在一定时期内被索赔的次数等 等均可近似地用泊松分布来描述.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n

16、很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,最大值,2. 泊松分布的最大值与经典题型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊 松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率 为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率.,解:由题意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X表 示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数,求X 的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=k=P第k次试验时成功并且 在前k-1次试验中成功了m

17、-1次,习作题. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X 表示直到出现首次成功为止所进行的试验次 数,求X 的分布律。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X表 示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数,求X 的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=k=P第k次试验时成功并且 在前k-1次试验中成功了m-1次,习作题. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X 表示直到出现首次成功为止所进行的试验次 数,求X 的分布律。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(三) 几何分布,直观解说,(1)几何分布的概率

18、构成等比(几何)数列,成几何 增长,公比为(1-p).顾名思义称之为几何分布. (2)几何分布直观叙述为期待某个事件首次出现.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例子 设X服从几何分布,则对任何两个正整数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(四) 超几何分布,定义 一个袋中装有N件产品,其中有M件次品,从中无 放回抽取n件.以X表示取到的次品数.,那么X的分布根据古典概型计算得到,称随机变量X服从超几何分布,可记XH(n,M,N),直观解说,(1)从一批产品中一次抽取n件样品与不放回地抽取n 件是等价的,都服从超几何分布. (2)当有放回地抽取n件样品时,每次取到次品的概率都 是一样的(多

19、少?),此时超几何分布退化为二项分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)在无放回抽样中,当样本总数N很大,而n很 小时,超几何分布可近似用二项分布描述.,直观解说,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 纺织厂女工照顾800个纺锭,每一纺锭在某一短时间内发 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.,分析 设断头次数为随机变量X,则XB(800,0.005),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 设一批产品共2000个,其中有40个次品.随机抽取100个样品,求样品中次品数的概率分布,若抽样方式是:(1)不放回抽

20、样;(2)放回抽样.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律来 描述,非离散型的该如何描述？ 如:联想电脑的寿命X是一个随机变量,对于你来说,你 是否在意PX5年还是PX5年零1分钟.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、概率密度,第三节 连续型随机变量,1. 定义 若随机变量 的取值范围是某个实数区 间 ,且存在非负函数 ,使对任意区间 有,则称 为连续型随机变量; 称为 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.,密度函数的几何意义为: 曲边梯形的面积.,2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-x)； (2)归一性,机动 目录 上页

21、 下页 返回 结束,(3) 连续型随机变量取某一可能值的概率等于0.,注意事项,(1)概率等于0的事件不一定是不可能事件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 常见题型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 已知随机变量X的概率密度,求 PX(0.5, 1.5),直观 解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布,则称X在(a,b)内服从均匀分布.记作 XU(a,b),对任意实数c, d (acdb)，都有,直观解说,有一类特殊的随机变量,它有n个不同的可能取值,且取每一 个

22、值的概率相同 则说随机变量X 在n个点上均匀分布;对于区间a,b来说,描述为取值落在该 区间中的每点的概率密度相同.长度为 b-a质量为1的细棒的线密度为1/(b-a).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 长途汽车起点站于每小时的10分、25分、55分发 车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机 到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.,解：设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),分析 由汽车起点站的发车时间可见,乘客候车时间超过10分钟, 必须在(10,15 、(25,45和(55,60)时间段内到达.,思考题.求乘客候车时间不 超过5分钟

23、的概率.,例2 设随机变量X在1,4上服从均匀分布,现在对X进行3次独立观察,求至少有2次观察值大于2的概率.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:本题的主干在于3次独立试验中,某事件A至少发生2次的概率的计算.这是一个伯努利试验,为些必须先求出事件A在每次试验中发生的概率.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 设随机变量X服从均匀分布U0,5,求方程 有实根的概率.,分析: 要求与连续型随机变量X有关的概率,必须 知道X的密度函数,同时要找出X落在某个区间上,这 点可由方程根的判别式求得.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 指数分布,则称X服从参数指数分布,记作Xe(),

24、其中 0是指数分布的参数。,定义 若随机变量X的密度函数为,直观解说,(1) 指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间,几 何分布描述伯努利试验中,直到事件A发生为止进行的试验 次数.如果将每次试验视为经历一个单位时间,则直到A发生为止进行的试验的次数可视为直到A发生为止的等待时间. (2)电子元件、灯泡的使用寿命;电话台收到两次呼叫的时间间隔;随机服务系统的服务时间等均服从指数分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 电子元件的寿命X(年）服从参数为1/3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用2年的概率为多少?,解 由

25、题设,得随机变 量X 的密度函数为,一般地有以下的结论:PXs+t/Xs=PXt,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这一性质称为指数分布的无记忆性,意指指数分布 对过去的信息在后面的计算中被遗忘了.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命X(h)服从指数分布e(1/3000),该厂规定寿命低于300h的元件可以退货,问该厂被退元件的数量大约占总产量的百分之几?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 已知某种类型电子管的寿命X服从参数为1/1000 的指数分布;现有一台仪器中装有5只此类电子管, 任一只电子管损坏,仪器便不能正常工作.求仪器 正常工作

26、1000小时以上的概率.,分析 仪器正常工作必须每一只电子管都正常工作,因此先求出 每一只电子管正常工作1000小时以上的概率.,解 由题设知电子管寿 命X的概率密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 某型号电子管的寿命 X(h)的密度函数为 现有大批这种电子管,从中任取5只,求至少有2只寿命大于1500小时的概率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、分布函数的概念,第四节 随机变量的分布函数,定义 设 是随机变量，对任意实数 ,事件 的概率 称为随机变量 的分布函数.,注意事项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、分布函数的性质,1 单调不减性,具有上述三个性质的实函数

27、,必是某个随机变量的分布函数.故这三个性质是分布函数的充分必要性质.,2 归一 性,3 右连续性 对任意实数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三. 离散型随机变量的分布函数,定义 若离散型随机变量X具分布律,则称,为X的分布函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐 标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的 概率与区间长成正比,求X的分布函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四. 连续型随机变量的分布函数,【答案】,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 函数,可否是连续型随机变量X的分布

28、函数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 设随机变量X的 概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、随机变量函数的含义,第五节 一维随机变量函数的分布,在实际问题中往往需要讨论随机变量的函数的变化规律.例如某影剧院每次演出所售出的门票数是一个随机变量,而票房收入就是售出门票数的函数,也是随机变化的;在分子物理学中(布朗运动),已知分子的速度V是一个随机变量,这时分子的动能W=MV2/2是随机变量V的函数,同样是一个随机变量;本节就是要研究这类随机变量的分布问题.,一般地,设 为一个随机变量, 是一元单值实函数,则 也是一个随机变量,

29、称 是随机变量 的函数.变量 既是随机变量,同时也是因变量.由于自变量 只有一个,故 称为一维随机变量函数.以下讨论因变量 的分布问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、离散型随机变量函数的分布律,定义 设 为一个随机变量,其分布律为,若 是一元单值实函数,则 也是一个随机变量. 而且随机变量 的分布律如下:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 某射手对靶射击,单发命中概率都为0.6;现他 扔一个均匀的骰子,扔出几点就对靶独立射击几 发,求他恰好命中两发的概率。,分析 由于射击次数与扔出的骰子点数相同,而骰子的点数是随 机出现的,故射击次数是随

30、机出现的变量.,恰好命中两发相当于下列情形之一发生:两发都击中;三发中正好击中两发;四发中,正好击中两发;五发中正好击中两发;六发中正好击中两发.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设某昆虫的产卵数X服从参数为的泊松分布,又设一个虫卵能孵化成虫的概率为p,且各卵的孵化是相互独立的,求此昆虫下一代幼虫只数Y的分布律.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、连续型随机变量函数的密度函数,此法也叫“ 分布函数法”,若随机变量 的密度函数为 为随机变量 的函数则可先求 的分布函数,然后再求 的密度函数,1、一般方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动

31、 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,(1)当y 0时,(2)当y1时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,若XfX(x), y =g(x)是单调可导函数,则,注：(1) 只有当g(x)是x的单调可导函数时,才可用以上公 式求Y的密度函数.(2) 注意定义域的选择. (3)应用公式求Y的密度函数分为两个步骤:先求反函 数及反函数的导数,然后再代入所给出的公式.,其中h(y)为yg(x)的反函数.,2、公式法一,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页

32、 下页 返回 结束,例2 设XU0,1,求Y=ax+b的概率密度.(a0),故,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、公式法二,步 骤,(1)在不同的单调区间上分别求出反函数以及反 函数的导数; (2)代入以上公式,即可得Y 的密度函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.已知随机变量X的概率密度为,求：Y=1-X2的概率密度,2. 设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布,求随机 变量Y=X2的密度函数.,习作题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页

33、 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二. 联合分布,三. 边缘分布,一. 多维随机变量,第六节 二维随机变量的联合分布,四. 二维离散型随机变量,1. 联合分布,2. 边缘分布,3. 条件分布,五. 二维连续型随机变量,1. 联合分布,2. 边缘分布,3. 条件分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动