矢量分析课件2.ppt

1、第二章 场论,第二章 场论,1 场,3 矢量场的通量及散度,2 数量场的方向导数和梯度,4 矢量场的环量及旋度,5 几种重要的矢量场,第二章 场论,1 场,一、概念,如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量场;如果是矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无关，则该场称为稳定场(静态场)； 若该物理量与时间有关，则该场称为不稳定场(时变场)。,第二章 场论,1 场,二、数量场的等值面,如果数量场确定了,则场中各点处的场点值

2、就确定了,对于静态场,它是只是空间坐标的函数.,例如,在直角坐标系下,如温度场,电位场,高度场等.,第二章 场论,1 场,等值面 数量场中量值相等的点构成的面.,等值面研究的意义:数量场中所发生的物理过程在不同的等值面上是不同的.,第二章 场论,1 场,例1 求数量场 通过点 的等值面方程。,解: 点M的坐标是 ,则该点的数量场值为,.其等值面方程为:,或,第二章 场论,1 场,三、矢量场的矢量线,如果矢量场确定了,则场中各点处的矢量 就确定了,对于静态场,它是只是空间坐标的函数.,或,例如,在直角坐标系下,如力场,速度场等.,第二章 场论,1 场,矢量线 在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的

3、矢量 相切.,矢量线研究的意义: 能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢量场的分布.,如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。,第二章 场论,1 场,讨论,（在M处与矢量线相切的矢量）,矢量线的方程,设 为矢量线上任意一点，其矢径为,则微分,与在M处的场矢量 共线。,因此有：,矢量线的微分方程,第二章 场论,1 场,例2 求矢量场 的矢量线方程。,解: 矢量场满足的微分方程为,从而有,解之即得矢量方程,C1和C2是积分常数。,第二章 场论,1 场,例3 求矢量场,解: 矢量场满足的微分方程为,通过点 的矢量线方程。,由,由,第二章 场论,1 场,所以过点 的矢量线方程为:,第二章 场论,2

4、数量场的方向导数和梯度,一、方向导数,考虑标量场中两个等值面,定义数量函数 沿给定方向 的变化率,为数量场函数 在点 处沿 方向的方向导数.其大小与方向 有关,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,在直角坐标系中,方向导数有如下计算公式:,如果函数 在点 处可微; 为 方向的方向余弦,则函数 在点 处沿 方向的方向导数为:,其中 是在点 处的 偏导数.,第二章 场论,例4 求函数 在点 处沿 方向的方向导数.,解:,的方向余弦为:,则,2 数量场的方向导数和梯度,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,二、梯度,当 ,即 方向与 方向一致.,结论: 矢量 的方向就是数量函数 变化率最大的

5、方向., 矢量 的模正好是这个最大变化率的数值.,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,定义梯度,数量场 在M点的梯度是一个矢量,大小:最大方向导数,方向:最大方向导数所在的方向(即 的方向),在直角坐标系里有:,引进哈密顿矢量微分算子:,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,梯度的性质,(1) 方向导数等于梯度在该方向上的投影.,(2) 梯度的方向是沿等值面法线的方向,且指向函数 增大的 一方.,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,梯度运算的基本公式,第二章 场论,例5 求数量场 在点 处的梯度及在矢量 方向的方向导数.,解:,2 数量场的方向导数和梯度,第二章 场论,例6 设

6、有位于坐标原点的点电荷 ,由电学知道,在其周围空间的任一点 处所产生的电位为:,2 数量场的方向导数和梯度,其中 试求电位 的梯度.,第二章 场论,2 数量场的方向导数和梯度,由于电场强度,所以,结论:电场中的电场强度等于电位的负梯度.,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,在描绘矢量场的特性时, 矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。 在矢量分析中, 将曲面的一个面元用矢量 来表示, 其方向取为面元的法线方向, 其大小为 , 即,是面元的法线方向单位矢量。 (1)开曲面上的面元:右手螺旋法则。 (2)封闭曲面上的面元: 封闭面的外法线方向。,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,如果

7、是一个封闭面, 则,一、通量,可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,定义矢量 沿有向曲面 的面积分,为矢量 穿过有向曲面 的通量。,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,例7 在点电荷 所产生的电场中,任何一点 处的电位移矢量为,其中 是点电荷 到点 的距离, 是从点电荷 指向点 的单位矢量.设 为以点电荷为中心, 为半径的球面,求从内穿出 的电通量 .,解,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,二、散度,如果包围点P的闭合面 所围区域 以任意方式缩小为点P时，通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 在P点的散度。即,矢量 的散度是标量, 它是 通过某点处单位体积的通量(即通量体密

8、度)。它反映 在该点的通量源强度。,直角坐标系,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,则：, 矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数.,散度的物理意义:, 散度代表矢量场的通量源的分布特性.,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,在矢量场中,若 ,称之为有源场, 称为(通量) 源密度;若矢量场中处处 ,称之为无源场.,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,例8 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为,求任意点处电通量密度的散度 。,解,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。,第二章 场论,

9、3 矢量场的通量及散度,散度运算的基本公式:,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,例9 已知 求,解 因为,由于,则,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,三、散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即,高斯定理,该公式表明了区域 中场 与边界 上的场 之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,第二章 场论,3 矢量场的通量及散度,例10 球面S上任意点的位置矢量为,试利用散度定理计算,解 由散度定理得,由于,所以,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,一、环量,矢量 沿某封闭有向曲线 的线积分,

10、 定义为 沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为,环量的计算,环量表示绕线旋转趋势的大小。,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动,流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源,例：流速场,流速场,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,二、环量面密度,若 沿着自身缩向 点时,若,极限存在,则称矢量场 在点 处沿方向 的环量面密度.,这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线 的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入如下定义, 称为旋度(curl或rotation):,

11、第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,三、旋度,可见, 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量 在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。 它描述 在该点处的旋涡源强度。,直角坐标系,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,矢量 的旋度可表示为哈密顿算子与 的矢量积, 即,计算 时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算,得,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,即,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,旋度,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,某点的旋度的大小是该点环量面密度的最大

12、值。,在矢量场中，若 ,称之为旋度场(或涡旋场)， 称为旋度源(或涡旋源)；,某点的旋度的方向是该点最大环量面密度面元的方向。,若矢量场处处 ，称之为无旋场。,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例 11 求矢量场 的旋度.,解:,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例12 自由空间中的点电荷 所产生的电场强度为,求任意点处( )电场强度的旋度 。,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,解:,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故,这说明点电荷产生的电场是无旋场。,因,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例 13 设矢量场 ,证明,所以:,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,旋度运算的基本公式:,梯度的旋度恒等于零,旋度的散度恒等于零,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例 14 证明矢量场 是无旋场.,证:,0,0,则:,所以: 为无旋场.,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例 15 证明 ( 即标量函数梯度的旋度等于零) .,证:,其中,因为,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,所以,第二章 场论,4 矢量场的环量及旋度,例 16 证明 ( 即矢量函数旋度的散度等于零)