概率论课件 -上海对外贸易.ppt

1、,2.1 随机变量,第二章 随机变量及其分布,2,随机变量,一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；每天从上海下火车的人数；昆虫的产卵数;七月份上海的最高温度；股票的价格。 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,3,随机变量,例如：掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.,每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V. Y，U，V是三个不同的随机变量

2、.,电视机的寿命T是一个随机变量.,4,随机变量,对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需要设计随机变量。,5,随机变量,二、随机变量(random variable)的定义 定义设E是随机试验，它的样本空间是 ，如果对于每一个，都有一个实数 与之对应，这样的得到的一个定义在上的单值实函数 称为随机变量,简记为r.v. 。,6,随机变量,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在微积分中大家接触到的函数一样吗？,7,随机变量,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果

3、的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,注：随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示，而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,8,随机变量,三、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内110报警台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,收到不少于1次呼叫 X1,没有收到呼叫 X= 0,9,随机变量,四

4、、随机变量的分类,随机变量,2.2 离散型随机变量,11,离散性随机变量,引例,引例,且,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,12,离散性随机变量,一、离散型随机变量概率分布的定义 定义1：设xk(k=1,2, )是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.,k=1,2, ,13,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,X ,或,14,分布律的性质,15,离散性随机变量,举例求离散型随机变量的分布律 例1 设随机变量X的概率函数 试确

5、定常数a .,k =0,1,2, ,16,离散性随机变量,例3 随机变量X的分布表述如下： 求X的分布列。,17,离散性随机变量,例4 在15件同类型的零件中有2件次品，其余都是正品，在其中取3次，每次任取1件，作不放回抽样，以X表示取出次品的件数。试写出X的分布列。,18,离散性随机变量,例5 盒内装有10只螺口、5只卡口灯泡，现需用1只螺口灯泡，从盒中每次任取1只，直到取得螺口灯泡，如果取到卡口灯泡就不再放回去，求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数X的分布。,19,离散性随机变量,例6 自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.01，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，设随机变量X表示两

6、次调整之间生产的合格品数，试写出X的分布列，并求出X不小于5的概率。,20,离散性随机变量,例7 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.,21,例8 设X的分布律为,求 P(0X2),P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,分布律确定概率,解,22,=P(抽得的两件全为次品),例9: 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次

7、品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX=0,23,故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,= X=1X=2,PX1= PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,故,24,常用离散分布,二、常用离散分布 1.退化分布 定义1 若一个随机变量X以概率1取某一常数，即 则称X服从a处的退化分布. 注：在所以分布中，最简单的分布是退化分布，其之所以称为退化分布，是因为其取值几乎是确定的，即这样的随机变量退化为一个确定的常数。,25,常用离散分布,2 两点分布（0-1分布） 定义2 若一个随机变量X

8、只有两个可能的取值，且其分布为 则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。 特别地，若X服从x1=1,x2=0处参数为p的两点分布，即 则称X服从参数为p的0-1分布。,26,0 1 分布,是否超标、抛硬币、检验种子是否发芽等.,凡试验只有两个结果,常用0 1,分布描述, 如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 p 1,或,27,贝努利试验与 二项分布,试验的独立性： 试验的结果相互独立 n重贝努利试验 每次试验至多出现两种可能结果之一： ； A在每次试验中出现的概率p保持不变； 各次试验相互独立； 共进行n次试验。,28,贝努利试验与 二项分布,定理1 对于贝努利概型，事

9、件A在n次独立试验中恰好发生k次的概率为 并且,29,贝努利试验与 二项分布,例10 (1) 求投掷均匀硬币10次正面出现4次的概率; 正面次数不少于4次的概率? (2)设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立重复试验，则A至少发生一次的概率是多少？而事件A最多发生一次的概率是多少？ (3) 一射手对同一目标独立地进行了4次射击，若至少击中一次概率为80/81，则该射手的命中率是多少？,30,常用离散分布,3 二项分布 定义3 若随机变量X的所有可能取值 0, 1, , n，且它的概率分布为 其中 ,则称随机变量X从二项分布，记作 注 二项分布满足 : (1) (2),注：01 分布是

10、n = 1 时的二项分布,31,常用离散分布,例11 1) 从次品率为p的一批产品中有放回地任取n件产品，记X为n件产品中次品的个数则 XB(n,p) 2) 掷一颗骰子10次，X表示“1”点出现的次数，则 3) 1000人向保险公司购买人身意外保险,在一年的保限期限内投保人发生意外的概率为0.005,则1000人中出现意外的人数,32,常用离散分布,例12 已知5重贝努利试验中成功的次数取不同值的概率不是常数,且PX=1=PX=2,求概率PX=4. 例13 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,33,常用离散分布,例14 已知

11、某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01，并设各个螺丝钉是否为次品是相互独立的，这家公司将每10个螺丝钉包成一包出售，并保证若发现某包内多于一次，则可退款，问卖出的某包螺丝钉将被退回的概率是多大？,34,常用离散分布,例15 从学校到火车站的途中有3个交通岗,且每次遇红灯的概率为1/4,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1/4,设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布率及至多遇到一次红灯的概率。,35,常用离散分布,例16 设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005, 且每个人是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人

12、中死亡人数不超过10人的概率。,36,二项分布的取值情况,设,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,37,38,设,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,39,40,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,41,当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值,( x 表示不超过 x 的最大整数),42,常用离散分布,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.,对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n

13、的增大，其取值的分布 趋于对称,43,例17 独立射击5000次, 命中率为0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；,(2) 命中次数不少于1 次的概率.,44,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),本例 启示,45,例：有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯. 如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次. (1)某人随机地去猜,问他试验成功一次 的概率是多少? (2)某人声称他通过品尝能区分这两种酒. 他连续试验10次,成功3次. 试推断他是猜对的,还是

14、他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的).,46,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火,由于时间无限, 自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳楼自杀.,47,常用离散分布,4. 几何分布 在独立重复试验中，事件A发生的概率为p。设X为直到A发生为止所进行的次数，显然X的可能取值是全体自然数，且由贝努利定理知其分布为 定义4 若一随机变量X的概率分布由上式给出，则称X服从参数为p的几何分布。 几何分布具有下列无记

15、忆性：,48,常用离散分布,5 超几何分布 引例 一个袋子中装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）。从中不放回地抽取n（1nN）个球，设X表示取到白球的数目，则根据古典概型算得X的分布 这里规定：当ab时， 定义5 若一随机变量X的概率分布有上式给出，则称X服从超几何分布。,49,常用离散分布,6 泊松分布 定义6 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为： 注: (1) (2),其中0 是常数,则称 X 服从参数为 泊松分布,或,记作,50,常用离散分布,(3)泊松分布的图形特点： XP( ) (4) 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1

16、837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,51,收银台在某时间段内接待的服务次数X； 110报警台在某时间段内接到报警次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的,52,解,53,例29每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩

17、子的概率。,解:由题意,54,常用离散分布,二项分布的泊松近似 对于二项分布b(n,p),当试验次数n很大时，计算其概率很麻烦。例如，要计算 故须寻求某种近似计算方法，这里先介绍二项分布的泊松近似，在后面还会介绍二项分布的正态近似。,55,常用离散分布,定理（泊松定理）在n重贝努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为pn(这与试验的次数有关)，如果 时,则对任意给定的k,有,56,常用离散分布,57,证,记,58,常用离散分布,注：(1) 定理的条件意味着当n 很大时，pn必定很小，因此，泊松定理表明，当n很大时，p接近0时有下列近似公式：,实际计算时，n100，p0.1, np10时近似效

18、果比较好。,(2) 把在每次试验中出现概率很小的事件称为稀有事件，此类事件如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等，则由泊松定理知，n重贝努利试验中稀有事件出现的次数近似服从泊松分布。,59,类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的概率为,对每个 n 有,结 论,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson 分布,60,常用离散分布,例19 一家商店销售某一型号的彩色电视机，由该商店过去的销售纪录知道，该型号彩色电视机每月的销售数可以用参数 10 的普阿松来描述。为了以95%以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进

19、该型号彩色电视机多少台？,61,常用离散分布,例20（P45）,62,由题意,多少个产品？,63,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.,应用Poisson定理,64,常用离散分布,例22 我国一航天部门组织生产某一型号的运载火箭，其中需要某同一型号的元件100个，该元件的次品率为0.01，问应该一次性购进该元件多少个才能以95%以上的把握不用重新去采购？,65,常用离散分布,例23 某公司生产一种产品300件。根据历史生产记录知废品率为0.01。问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率为多少？,66,常用离散分布,例24 在保险公司里有2500名

20、同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取20000元赔偿金。求： 保险公司亏本的概率； 保险公司获利分别不少于100000, 200000元的概率。,67,常用离散分布,例25设昆虫产n个卵的概率为 ，而每个卵孵成昆虫的率均为p，设各个卵是否孵化成昆虫相互独立。证明：昆虫下一代恰有r只的概率为,68,常用离散分布,例26设在一段是内进入某商店的顾客数X服从参数为 的泊松分布, 每个顾客购买某件物品的概率为 , 并且各个顾客是否购买该种商品是相互独立,求进入商店的顾客购买这种商品的

21、人数的概率分布.,2.3 随机变量的分布函数,70,分布函数,一、随机变量的分布函数 定义 设 X 是一个随机变量，称 为X的分布函数。记作 X F(x) 或 FX(x). 注: 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间(, x 的概率.,71,分布函数F(x)的性质: (1) (2) 对任意两点 当 时,有 即任一分布函数都是单调不减的 (3) (4) 右连续性:,72,73,设 r.v. X 的分布函数：,计算,例1,解,74,75,分布函数 F(x)的图形,F(x)是单调不减函数,76,是不是某一随机变量的分布函数？,不是,因为,思考,77,例2 P48 在区间1,5上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在1,5上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数.,78,解,79,80,分布函数,例3 随机变量X的分布函数为 求常数A、B.,81,分布函数,例4 如下四个函数哪个是随机变量的分布函数,82,分布函数,二、离散型随机变量的分