第四章-扭转-1-(3)...ppt

1、1,第四章 扭转,第四章 扭 转,材料力学,2,第四章 扭转,第四章 扭转,41 工程实例、概念,42 外力偶矩、扭矩,43 薄壁圆筒的扭转,44 圆轴扭转时的应力、强度计算,45 圆轴扭转时的变形、刚度计算,46 等直圆杆的扭转超静定问题,47 非圆截面杆的扭转,48 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力,48 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算,扭转变形小结,3,第四章 扭转,一、工程实例,1、螺丝刀杆工作时受扭。,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,41 工程实例、概念,4,第四章 扭转,3、机器中的传动轴工作时受扭。,4、钻井中的钻杆工作时受扭。,5,第四章 扭转,6,第四章 扭转,二、扭转的概

2、念,受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直杆的轴线。,变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。,轴：主要发生扭转变形的杆。,7,2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转分(rmin；rpm)。,外力偶矩：,二、内力：T（扭矩）,第四章 扭转,一、外力：m （外力偶矩）,1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转分(rmin； rpm)。,外力偶矩：,42 外力偶矩、扭矩,8,2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。,右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。,第四章 扭转,1、内力的大小：（

3、截面法）,9,4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。,作法：同轴力图：,第四章 扭转,例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,（1）、截开面上设正值的扭矩方向。,（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。,10,第四章 扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,解：计算外力偶矩,例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,11,第四章 扭转,绘制扭矩

4、图,BC段为危险截面。,12,实验变形规律应力的分布规律应力的计算公式。,1、实验：,第四章 扭转,43 薄壁圆筒的扭转,13,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上剪应力大小相等。, 因为壁厚远小于直径，所以可以认为剪应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。,第四章 扭转,14,5、剪应力的计算公式：,dAdA（dA）r0 。 dA=（r0d）t。,第四章 扭转,二

5、、剪切虎克定律,在弹性范围内剪应力与剪应变成正比关系。,15,在相互垂直的两个面上，剪应力总是成对出现的，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。,第四章 扭转,三、剪应力互等定理,16,一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）,几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律,物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律,静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。,一）、几何关系：,1、实验：,第四章 扭转,44 圆轴扭转时的应力、强度计算,17,2、变形规律：,圆轴线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形

6、。,3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上剪应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。,第四章 扭转,18,5、剪应变的变化规律：,第四章 扭转,二）物理关系：弹性范围内工作时,方向垂直于半径。,19,第四章 扭转,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,20,三）静力关系：,第四章 扭转,令,代入物理关系式 得：,圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。,21,第四章 扭转,横截面上,抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。,

7、整个圆轴上等直杆：,变直杆：,三、公式的使用条件：,1、等直的圆轴，,2、弹性范围内工作。,Ip截面的极惯性矩，单位： m4 mm4,二、圆轴中max的确定,22,第四章 扭转,四、Ip, Wt 的确定 ：,1、实心圆截面,2、空心圆截面,23,实心圆轴的直径d =100 mm，长l =1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14 kNm，转向相反。材料的切变模量G=8104 MPa。求：,图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。,24,tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa,25,第四章 扭转,五、圆轴扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁

8、试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,26,第四章 扭转,方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）,t,t,27,第四章 扭转,设：ef 边的面积为 dA 则,eb边的面积为dAcos,ef边的面积为dAsin,28,第四章 扭转,2、max：=00， max=（=0）。横截面上！,1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！,结论： 如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏 （塑性材料）；,如果材料的抗拉压能力差，构件就沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。,分析：,29, 扭转失效与极限应力,塑性材料,屈服,断裂,脆性材料,断裂,扭转屈服

9、应力ts ，扭转强度极限tb 扭转极限应力tu,圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力扭转强度极限,扭转极限应力,扭转失效形式,30, 圆轴扭转强度条件,等截面圆轴:,变截面或变扭矩圆轴:,tu材料的扭转极限应力 n - 安全因数,塑性材料：t =（0.50.577）s 脆性材料：t = （0.81.0）st,为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力,危险点处于纯剪切状态，又有,31, 圆轴合理强度设计,1. 合理截面形状,若 Ro/d 过大将产生皱褶,空心截面比实心截面好,2. 采用变截面轴与阶梯形轴,注意减缓应力

10、集中,32,第四章 扭转,六、圆轴扭转时的强度计算,1、强度条件：,2、强度计算： 1）校核强度； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。,33, 例 题,例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。,解：1. 确定实心圆轴直径,34,2. 确定空心圆轴内、外径,3. 重量比较,空心轴远比实心轴轻,35,解：1. 扭矩分析,例 5-2 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管强

11、度。,36,2. 强度校核,危险截面：,截面 A与 B,37,一、变形：（相对扭转角）,45 圆轴扭转时的变形、刚度计算,T=常量,且分段。,单位：弧度（rad）。GIP抗扭刚度。,第四章 扭转,38,单位长度的扭转角，,二、刚度条件：,三、刚度计算： 1、校核刚度； 2、设计截面尺寸； 3、确定外荷载。,第四章 扭转,39,例 功率为150 kW，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所示，许用剪应力 =30 M Pa, 试校核其强度。,T,1.55 kN.m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,x,第四章 扭转,40,例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作

12、用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80 GPa ，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,T(x)=mx=20 x,Tmax=20*2=40Nm,第四章 扭转,41, 由扭转刚度条件校核刚度,右端面转角为：,第四章 扭转,42,例 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为

13、多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩图,第四章 扭转,43,由刚度条件得：,由强度条件：,第四章 扭转,44,综上：,全轴选同一直径时, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,第四章 扭转,45,第四章 扭转,已知：P7.5kW,n=100r/min, 许 用剪应力40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 求:：实心轴的直径d1和空心轴 的外径D2。,46,第四章 扭转,47, 等直圆杆的扭转超静定问题,解扭转超静定问题的步骤：,第四章 扭转,48,例 长为 L=2 m 的圆杆

14、受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,几何方程：,第四章 扭转,49, 力的补充方程：, 由平衡方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,第四章 扭转,50,例题7 两端固定的圆截面杆AB,在截面C处受一个扭转力偶矩Me的作用,如图所示.已知杆的抗扭刚度 GIp,试求杆两端的支反力偶矩.,51,解:去掉约束,代之以约束反力偶矩,这是一次超静定问题,须建立一个补充方程,C截面相对于两固定端A和B的相对扭转角相等.,杆的变形相

15、容条件是,52,C,Me,a,b,A,B,l,（1）变形几何方程,（2）由物理关系建立补充方程,解得,53,例题8 图 示一长为 l 的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度GaIpa 、GbIpb . 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为 Me 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩.,54,解：列平衡方程,这是一次超静定问题.,变形相容条件是内、外杆 的扭转变形应相同.,变形几何方程是,物理关系是,Me,55,代入变形几何方程,得补充方程,Mb,Ma,Me,56,一、非圆截面杆与圆截面杆的区别,圆杆扭转

16、时 横截面保持为平面；,非圆杆扭转时 横截面由平面变 为曲面（发生翘曲）。, 非圆截面杆的扭转,第四章 扭转,57,二、研究方法：弹性力学的方法研究,三、非圆截面杆扭转的分类：,1、自由扭转（纯扭转）,2、约束扭转。,四、分析两种扭转：,1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。,受力特点：两端受外力偶作用。,变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵 向应变等于零。,应力特点：横截面上正应力等于零，剪应力不等于零。,2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。,受力特点：两端受外力偶作用。,第四章 扭转,58,

17、变形特点:相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以 纵向应变不等于零。,应力特点：横截面上正应力不等于零，剪应力不等于零。,五、矩形截面杆的自由扭转：,1、分布：,2、应力计算：,（整个横截面上最大的剪应力）。,短边中点,3、变形：,长边中点,第四章 扭转,59,六、非圆截面杆扭转的有关规律：,1、截面周边各点处剪应力的方向与周边平行（相切）。,2、在凸角处的剪应力等于零。,第四章 扭转,60,一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。,48 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力,第四章 扭转,61,三、闭口薄壁截面

18、杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同 一厚度处，应力均匀分布。,第四章 扭转,62,四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取 单元体如图（d）。,图（c）,第四章 扭转,63,第四章 扭转,64,例 图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm， b=75 mm，厚度t =5 mm，杆两端受扭转力偶 T=5000 Nm， 试求此杆的最大剪应力。,解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：,b,a,t,第四章 扭转,65,第四章 扭转,48 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算,一、概述,弹簧的特点变形大 弹簧的用途缓冲作用、控制机械运动、测量力的大小等。 圆柱形密圈螺旋弹簧外型为圆柱

19、型、螺距很小（50）、 弹簧沿轴线方向成螺旋式。,二、 应力的计算,66,第四章 扭转,近似值：,前提条件 （1） 角很小，忽略角的影响，认为簧丝横截面与弹簧轴线在同一平面内（与 F力在同一平面）。 （2）dD ，忽略簧丝曲率内影响，按直杆计算。,=,+,t,Q,t,T,Fs,T,T=PD/2 Fs=P,67,第四章 扭转,三、强度条件:,精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）,其中：,称为弹簧指数。,称为曲度系数。,68,第四章 扭转,四、变形计算,1、定义：弹簧沿轴线方向的伸长或缩短量“”。,2、分析弹簧的变形： （1）、各横截面由扭转变形引起的轴向方向的伸长或缩短； （2）、各横截面由剪力引起的变形（ dD ），可忽略。,3、变形公式,设：B截面相对A转动d角度,69,第四章 扭转,D=2R，R为弹簧的平均半径，n为弹簧的有效圈数。,讨论1、 d 越小越大，减震越好；但此时将增大。 2、n、D越大越大，减震越好；但n大时将引起 侧向弯曲从而发生失稳破坏（解决方法：在中间 加导杆）。,70,第四章 扭转,例 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 F=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G