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1、转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,一、可分离变量的微分方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G (y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,二、典型例题,【例1】求微分方程,的通解.,【解】分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),通解为,【解】,【例2】,【分析】变量代换后,化为可分离变量的微分方程,【例3】 求下述微分方

2、程的通解:,【解】 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,【同步练习】,求 的通解.,【练习】,【解法 1】 分离变量,即,( C 0 ),【解法 2】,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,三、小结,1.可分离变量微分方程的概念,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据初始条件定常数 .,y = x 及 y = C,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298,5(2) ),2) 根据物理规律列

3、方程,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件.,(3) 求通解, 并根据初始条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,【思考与练习题】,1.求解微分方程,2. 求下列方程的通解 :,提示,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,提示和差化积后,分离变量. 通解为,当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C按照牛顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温度变为 35C ，并且假定周围空气的温度保持20C,不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 t（以小时为单位）的函数随时间变化的;,(2)画出温度时间曲线； (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示这种结果；,(4)如果尸体被发现时的温度是30C，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的？,【补例1】,【解】,(1),分离变量得,(2),(3),图象如右图，最终尸体的温度趋于

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