高二数学选修2-1 双曲线的简单几何性质(一)

1、双曲线的性质(一),| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),课堂新授,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,M(x,y),4、渐近线,N(x,y),慢慢靠近,动画演示,5、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e的范围：,（3）e的含义：,（4）等轴

2、双曲线的离心率e= ?,( 5 ),（1）范围:,（4）渐近线:,（5）离心率:,小 结,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,例1 :求双曲线,的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例题讲解,例2,例3 :求下列双曲线的标准方程：,例题讲解,法二：巧设方程,运用待定系数法. 设双曲线方程为 ,法二：设双曲线方程为, 双曲线方程为, ,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线的应用,0表示焦点在x轴上的双曲线； 0表示焦点在y轴上的双曲线。,2、

3、“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方 程表示为,双曲线的渐近线方程为,解出,例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 和它到定直线： 的距离的比是常 数 , 求点M的轨迹.,y,0,d,延伸：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 的距离比是常数 (ca0)，求点M的轨迹.,解：,

4、设点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2),设c2a2 =b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,是相应于右焦点F(c, 0)的 右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c, 0) 的左准线,点M到左焦点与左准线的距 离之比

5、也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,相应于上焦点F(c, 0)的是上准线,相应于下焦点F(-c, 0)的是下准线,基础练习,1.双曲线的中心在原点,离心率为4, 一条准线方 程是 ,求双曲线的方程.,2. 双曲线4y2-x2=16的准线方程是；两准线间 的距离是; 焦点到相应准线的距离是 .,点评：双曲线的焦点到相应准线的距离是,3.双曲线的渐近线方程为 一条准线方程 是 , 则双曲线的方程是 . A. B. C. D.,D,4.双曲线 上的一点P到它的右焦点的 距离为8, 那么P到它的左准线的距离 .,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl, AA1l, 垂足分别是N, A1,N,A1,当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2, 解得:,四、归纳总结,1. 双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。,2. 双曲线的准线方程,对于双曲线,准线为,对于双曲线,准线为,注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.,椭圆与双曲线的比较,小 结,|x|a,|y|b,|x| a，yR,对称轴：x轴，y