41 概率论与数理统计 (复旦大学出版社) 南京财经大学.ppt

1、1 数 学 期 望,返回目录,数学期望是指用概率分布算得的一种加权平均.,例 分赌本的问题,1654年George Brossion 赌输了钱,找Blaise Pascal,甲,乙两个赌徒相约用掷硬币赌钱,谁先赢三次得全部赌本100法郎,当甲赢了两次,乙赢了一次,不再赌下去了,如何分赌本?,再玩二次结束这次赌博.,四种结果是等可能的,甲赢法郎数为X,甲期望得到,定义 设离散型随机变量 X 的分布律,级数的和与各项的次序无关;,如 绝对收敛,则称级数 的和为X 的数学期望,记作E (X).,1* 也称为X 的均值或分布的均值;,则 绝对收敛,2* 级数 收敛,2* 几何意义:平面图形重心的横坐标

2、.,3* 不是绝对收敛,发散,称 X 的数学期望不存在;,4* 概率是权.,如 绝对收敛,则称X 的数学期望存在,称 为X 的数学期望,记作E (X),例1 离散型随机变量 X 的分布律为：,求 E(X),例2 X () ,求E (X),解: X 的分布律,例3 随机变量X 的分布律,求证E (X)不存在.,发散,E (X)不存在.,证明:,例4 已知,求a 和 b 的值.,解:,例5 X U (a,b) , 求E (X),解: X 的密度函数是,例6 设有5个相互独立的元件,其寿命服从参数为的指数分布,其概率密度为：,(1) 将这5个元件组成一个串联系统,求该系统的平均寿命；,(2) 将这5

3、个元件组成一个并联系统,求该系统的平均寿命.,解：Xk 表示第 k 个元件的寿命，,相互独立,同服从参数为的指数分布.,(1) 记 Y 为串联系统的寿命,(2) 记 Z 为并联系统的寿命，,例7 某电子元件的使用寿命为X,若规定使用在500小时以下为废品,产值为0元;,在500 1000小时为次品,产值为10元;,在1000 1500小时为二等品,产值为30元;,在1500小时以上为一等品,产值为40元;,求平均产值.,解: 设产值为Y,Y 的取值为0,10,30,40,定理 设 Y 是随机变量 X 的函数, Y = g(x) ( g 是连续函数).,若 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在,若

4、绝对收敛,则 Y 的数学期望存在,证明:,定理的重要意义: 求E(Y) 时,不必知道Y 的分布,只要知道 X 的分布就可以了.,例8 设随机变量X 的分布律为,例9 风速V 在 ( 0, a ) 上服从均匀分布,概率密度是,设机翼上受到的压力W 是V 的函数,求W 的数学期望.,推广 设 Z 是二维随机变量( X,Y )的函数,( g 是二元连续函数).,1. d.r.v (X,Y) 的分布律为:,若 绝对收敛,则 Z 的数学期望存在,2. c.r.v (X,Y) ,若 绝对收敛,则 Z 的数学期望存在,例10 设X ,Y 的联合分布律为,解:,例11 设 二维随机变量(X,Y) 的概率密度为

5、,求 Z 的数学期望.,数学期望的重要性质,1. C 是常数，,2. C 是常数，X 是随机变量，,3. X,Y 是任意两个随机变量，,证：,推广：,证：,推广: X1, X2, Xn相互独立,4. X 与Y 相互独立,则,例12 民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出,乘客有10个车站可以下车,如到达一个车站无乘客下车就不停车,假设每位乘客在各个车站下车是等可能的,且乘客之间在哪一个站下车相互独立.以 X 表示停车的次数,求平均停车次数E (X).,解：设,例13 设 X,Y 相互独立,分别服从参数为,的指数分布.,解： X,Y 相互独立，,试求,例14 某公司为开发一种新产品市场需要确定

6、产量,他们估计出售一件产品可获利 m 元,而积压一件产品导致 n 元损失.他们预计销售量 Y (件)服从指数分布,其概率密度是,为使获利润期望值最大,应该生产多少件产品?,解：设产量为 x 件, 则利润,时,所获利润期望值最大.,当=10 000, m = 500元, n = 2000元时,生产2231件产品时,使获利润期望值最大.,思考题：,X 服从柯西分布,期望存在吗?,思考题答案：,期望不存在,练习题：,1. r.v.的分布函数为,2.袋中有6个红球,4个白球,任取一球记住颜色后再放回,这样一共进行了四次,记X为红球出现的次数,则E( X ) =( ) (1) 1.6 (2) 0.4 (

7、3) 2.4 (4) 9.6,3. 已知离散型随机变量X 的分布函数为,6. 设随机变量的密度函数,7. 设X 的密度函数,求常数 c 及E(X).,求E(),8. 调查结果表明,某地区外贸工作人员年龄 X 的概率密度函数为,求该地外贸工作人员的平均年龄.,10.设随机变量X 的密度函数为,11. 一家商店采用科学管理,由过去的销售记录知,某商品每月销售6件,而且销售件数服从泊松分布.为了以95%以上的把握保证这种商品不脱销,问商店在月底至少应进这种商品多少件?,12. 某推销员与工厂约定,用船把一箱货物运到目的地,按期无损毁运到,得佣金10元,把握60%;,不按期运到,扣佣金2元,不按期的可能性20%;,货物有损毁运到,扣佣金5元,货物有损的可能性10%;,不按期又有损毁运到,扣佣金16元,不按期又有损毁运到的可能性10%;,求推销员从每箱期望得到多少?,13. 圆的直径 ,求圆面积 的数学期望.,14.,练习题答案：,(1) ; 2. (3) ; 3. 0.5； 4. 4