高级生物统计03正交设计.ppt

1、参见徐主编的21世纪课程教材生物统计与实验设计，中国农业出版社，第12章，第8节，正交设计，增刊。在实际工作中，经常需要同时检查三个或更多的实验因素。如果进行综合性实验，实验规模会很大，由于实验条件的限制，往往很难实施。正交设计是安排多因素实验，寻求最佳水平组合的有效实验设计方法。(1)正交设计的概念和原理(1)正交设计的基本概念正交设计是利用正交表安排和分析多因素试验的设计方法。它从所有水平组合中选择一些有代表性的水平组合进行测试，并通过分析测试结果找出最佳水平组合。例如，研究了以下三个因素对鸡品种性能的影响：因素a是饲料配方，A1、A2和a3三个水平；因子B很轻，有三个级别：B1、B2和B

2、3。因素c是温度，设定在三个级别：C1、C2和C3。这是一个三因素三水平的实验，每个因素的水平之间有27种可能的组合。如果测试计划包含各种因素的所有层次组合，即进行综合测试，我们可以分析各种因素的影响和相互作用，也可以选择最佳的层次组合。这就是综合测试的优势。然而，综合测试涉及大量的横向组合，由于测试场地、测试动物和资金的限制，很难实施。如果实验的主要目的是寻找最佳水平组合，则可以通过正交设计来安排实验。正交设计的基本特点是用局部试验代替综合试验，通过对局部试验结果的分析，可以了解综合试验的情况。正交试验用局部试验代替综合试验，不可能像综合试验那样逐一分析各种因素的影响和相互作用；当交互存在时

3、，交互可能是混合的。对于上述三因素三水平试验，如果不考虑交互作用，可使用正交表L9(34)进行排列。该测试方案仅包含9个水平组合，能够反映包含27个水平组合的测试方案的综合测试情况，找出最佳生产条件。(2)正交设计的基本原理。在上例中，综合测试方案如表1所示。表1，三因素三水平综合测试方案，图1，三因素三水平平衡分散立体图。正交设计是从综合测试点(水平组合)中选择一些有代表性的测试点(水平组合)进行测试。图1中标记有测试号的九个“()”是通过正交表L9(34)从27个测试点中选出的九个测试点。即：(1)a1 B1 C1(4)a2 B1 C2(7)a3 B1 C3(2)a1 B2 C2(5)a2

4、 B2 C3(8)a3 B2 C1(3)a1 B3 C3(6)a2 B3 C1(9)a3 B3 C2。上述选择确保了因子a的每一级以及因子b和因子c的每一级。从图1可以看出，九个测试点的分布是平衡的，并且在立方体的每个平面上正好有三个测试点；立方体的每条线上只有一个测试点。九个测试点均匀分布在整个立方体中，很有代表性，能全面反映综合测试的基本情况。(1)正交表表2是标记为L8(27)的正交表，其中“l”代表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行，本正交表安排的实验包括8个处理(水平组合)；括号中的基数“2”表示因子的级别数，括号中的索引“7”表示有7列。有了这个正交表，最多可以排列7个因子，有

5、两个级别。表2 L8(27)正交表。数学家们已经编制出了常用的正交表，用于正交设计中的选择。2.除L8(27)外，还有L4(23)、L16(215)等。3水平正交表包括L9(34)、L27(313)等。(2)正交表的特点，1。在任何一列中，不同的数字显示相同。例如，在L8(27)中，不同的数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同的数字是1、2和3，每个数字出现三次。，2。在任何两列中，由同一水平线组成的数字对看起来是相等的。例如，(1，1)、(1，2)、(2，1)和(2，2)在L8(27)中出现两次；在L9(34)中，(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，

6、3)、(3，1)、(3，2)和(3，3)各出现一次。也就是说，每个因素的一个级别和另一个因素的每个级别具有相同的碰撞次数，这表明任意两列数字之间的搭配是一致的。根据以上两个特点，正交表安排的实验具有分散均衡、可比性强的特点。所谓平衡离差是指由正交表选择的因素的水平组合在所有水平组合中均匀分布。从图1可以看出，在一个立方体中，在任何一个平面上有三个“()”，在任何一条直线上有一个“()”。整齐、可比是指每一个因素的各个层次之间的可比性。因为正交表中的每个因素都以平衡的方式包含其他因素的所有级别，所以当比较某个因素的不同级别时，其他因素的影响会相互抵消。例如，在甲、乙、丙三个因素中，甲的三个层次在

7、A1、A2、A3的条件下有三个不同的乙、丙层次，即：在这九个层次中，甲的每一个层次都包括乙、丙三个层次，虽然搭配方法不同，但乙、丙处于同一位置。当比较不同水平的甲时，乙的效果是不同的。因此，因子A的三个水平是可比较的。同样，三个层次的B和C因素是可以比较的。(3)正交表的分类。1.在同一水平正交表的每一列中具有相同最大数量的正交表被称为同一水平正交表。例如，L4(23)、L8(27)、L12(211)和其他列中的最大值为2，这称为两级正交表；L9(34)、L27(313)等列中的最大值为3，称为三级正交表。在混合水平正交表的每一列中具有不同最大值的正交表称为混合水平正交表。例如，在表L8(42

8、4)中，一列中的最大值为4，四列中的最大值为2。也就是说，该表可以安排一个4级因子和四个2级因子。例如，L16(4423)、L16(4212)等。所有混合水平正交表。3。正交设计法，实施例1在添加矿物质元素的货架猪补饲试验中，考察了补饲配方、用量和食盐三个因素，每个因素有三个水平。尝试安排一个正交试验方案。(a)要确定因素和水平，影响测试结果的因素很多，因此我们不可能通过一次测试就研究所有的影响因素。我们只能选择和确定一些对测试指标影响最大、具有重大经济意义且未被很好理解的因素。同时，根据实践经验和专业知识，确定各因素的适宜水平，并列出因素水平表。实施例1的因子水平表如表3所示。表3因素等级表

9、；(2)根据要研究的因素、水平和相互作用的数量选择合适的正交表。选择正交表的原则是：不仅可以安排测试的所有因素，而且一些水平组合(加工数)的数量也应尽可能少。一般来说，测试因子的级别数应该与正交表符号中括号中的基数完全相等；因子的数量(包括相互作用)不应大于正交表符号括号中的指数；每个因素和相互作用的自由度之和小于所选正交表的总自由度，从而估计测试误差。如果每个因素和相互作用的自由度之和等于所选正交表的总自由度，则可以使用重复的正交试验来估计试验误差。在这种情况下，有三个三级因素。如果不研究相互作用，每个因素的自由度之和为(级别数-1)，因素数=(3-1)3=6，小于L9 (34)，总自由度为

10、9-1=8，因此可以选择L9(34)。为了研究这种相互作用，应该选择L27(313)，并且所安排的测试方案实际上是一个综合测试方案。(3)标题设计，这意味着要研究的选定因素和相互作用分别安排在标题的适当栏中当相互作用没有被研究时，每个因素可以被随机地安排在每个列中；如果要研究相互作用，则应根据正交表中的相互作用列表来安排因素和相互作用。在这种情况下，不调查相互作用，矿物元素补充饲料配方(a)、剂量(b)和盐(c)可依次排列在L9(34)的第一、第二和第三栏，第四栏为空，如表4所示。表4标题设计(4)列出试验方案，依次用因子的实际水平替换正交表中各因子的各列(不包括待调查的交互作用列)中的每个数

11、字，得到正交试验方案。表5是实施例1的正交试验方案。表5实施例1的正交试验方案，根据表5，1号试验处理为A1B1C1，即配方1，用量15g，盐0；2号实验处理为A1B2C2，即配方二，用量25g，食盐用量4g；试验9号为A3B3C2，即配方三、剂量20g和盐4g。4.正交试验结果的统计分析。如果每次试验处理只有一个观测值，则称之为单观测值正交试验；如果在每个试验处理中有两个或两个以上的观测值，则称之为重复观测的正交试验。(1)个体观测值正交试验结果的方差分析。在实施例1中用L9(34)安排测试方案后，每个测试只进行一次，测试结果(体重增加)列于表6。试着分析一下差异。表6正交试验结果计算表，本

12、次试验中9个观测值的总变异由4部分组成：A因子、B因子、C因子和误差变异，因此方差分析中平方和和和自由度的划分公式为：SST=SSASSB SSC SSE DFT=DFA DFB DFC DFE(1)N代表试验(处理)次数；a、b和c代表a、b和c因子在不同水平上的重复。Ka、kb和kc代表因子A、B和c的级数。在本例中，n=9，a=b=c=3，ka=kb=kc=3。1.计算正方形和自由度的总和。校正数C=T2/n=612.12/9=41629.6011，平方和SST=y2-C=63.4268.9273.72-41629.6011=101.2489。因子平方和SSA=/a-C=(197.22

13、200.32 214.62)/3 41629.6011=57.4289，因子平方和SSB=/b-C=(199.12 208.62 204.42)/3，-41629.6011 C因子平方和SSC=t2c/c-c=(198.72 206.92 206)。总自由度dfT=n-1=9-1=8 A因子自由度dfA=ka-1=3-1=2 B因子自由度dfB=kb-1=3-1=2 C因子自由度dfC=kc-1=3-1=2误差自由度dfe=DFT-DFA-DFB-DFC=8-0原因可能是本例的试验误差较大，误差自由度较小(只有2)，这使得试验的灵敏度较低，从而掩盖了所研究因素的重要性。因为每个因素对体重增加没

14、有显著影响，所以没有必要在这些因素之间进行多次比较。此时，可以从表6中直观地选择平均值大的水平A3、B2和C2，并将其组合成最佳水平组合A3B2C2。上述非重复正交试验结果的方差分析误差由“空栏”估计。然而，“空栏”不是空的，事实上，它被未观察到的交互所占据。这种误差包括实验误差和交互作用，称为模型误差。如果不存在交互作用，用模型误差来估计测试误差是可行的。如果各因素之间存在交互作用，模型误差将夸大实验误差，这可能掩盖所研究因素的重要性。此时，应该通过重复测试值来估计测试误差。因此，最好重复正交试验两次或更多次。正交实验的重复可以由完全随机或随机的单元组(即随机块)来设计。(2)重复观测正交试

15、验结果的方差分析。重复实施例2和实施例1的正交试验两次，并进行随机单元组设计。测试结果列于表8。试着分析一下差异。表8有一个重复观察的正交试验结果计算表，r用来表示试验处理的重复次数；n、a、b、c、ka、kb和kc的含义与实施例1中的相同。在这种情况下，r=2；n=9，a=b=c=3，ka=kb=kc=3 .对于随机单元组设计的重复正交试验，总变异可分为三个部分：加工间变异、单元组间变异和误差变异，而加工间变异又可进一步分为四个部分：因子A、因子B、因子C和模型误差变异。此时，平方和与自由度的除法公式为SST=SSt SSr SSe2 dfT=dft dfr dfe2和SST=SSSSSSB SSC SSE 1 DFT=DFA DFB DFC DFE 1。因此，SST=SSASSB SSC SSr SSE 1 SSE 2 DFT=DFA DFB DFC DFR DFE 1 DFE 2(2)，其中SSR是单位组间的平方和；SSe1是模型误差的平方和；SSe2是测试误差的平方和；SSt是处理之间的平方和；Dfr、dfe1、dfe2和dft是相应的自由度。应该注意的是，对于完全随机设计的重复正交试验，平方和和和自由度的除法公式中没有SSr和dfr项。1.计算平方和和自由度，校正数c=T2/(r n)=1347.42/(29)=100860