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1、,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第二章,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,是速度增量与时间增量之比的极限,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称
2、函数,若,的某邻域内有定义 ,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,练习 P59 5（1）,不存在,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,若极限,在点,的某个右 邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义2 . 设函数,有定义,存在,定理2. 函数,在点,且,存在,简写为,若函数,与,都存在 ,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,求导三步骤,2.求导举例,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,说明：,例如，,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例6,练习 P59 9,三、 导数的几何意义,切线方程:,法线方程:,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,注意: 函数在点 x 连续，但在该点 未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定
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