第六章图像变换的不变性与偏微分方程.ppt

1、6.1 形态学算子单调和对比不变的图像变换 6.1.1 定义 前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由R2R的特殊函数组成的函数空间，并记为F 。图像变换T是作用在F 上的一个算子，即T将一副图像u变换为另一幅图像Tu。 图像水平集之间的变换，是对于F 中所有函数，Y表示在F 所拥有的所有水平集，即 Y = clu ; uF , l0, 1 这是一个由R2的子集组成的集合族。,对于图像变换T，引进算子T作用在Y上，它将一个水平集X转换为另一个水平集TX，即 T: X Y TX Y 定义1：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两两幅图像u,vF u v Tu Tv 集合算子T是单调递增的，如

2、果对于任意X,YY X Y T(X) T(Y),定义2：图像变换T是对比不变的，如果对每一个连续对比变换g，对任意的uF ，都满足g(u)F 和 g(Tu) = T( g(u) ) 同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形态学算子。 可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。,例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义： 其中B是包含原点的闭集，x+B = x+z;zB 。假设 ，由于x+B为闭集，zx+B，满足u(z) = a，而 u(y) u(z) , yx+B 又因为对比变换g是单调递增的，所以 g( u(y) ) g( u(z) ) = g(a) yx+B,即，对图像g(u)满

3、足对比不变定义 D( gu(x) ) = g(a) = g( Du(x) ) 对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。 下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像u的值域，即 R(u) = s0,1, x, u(x) = s 其中Ru是包含R(u)的最小闭集。,定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像u，R(Tu) Ru，特别的，如果图像u只有有限个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。 证明：考虑一连续单调递增函数g，满足g(s) = s，当 sRu时。否则，g(s)

4、s。定义： g(s) = s + d(s,Ru)2 其中d(s,X)表示s到X距离 。当且仅当 sRu时，有 d(s,Ru) = 0,因此，当且仅当sRu时，g(s) = s，所以 g(u) = u。 因为T是对比不变的，所以 Tu = T( g(u) ) = g(Tu) 因此 (Tu)(x)Ru 。 定义3：一个图像变换T是灰度平移不变的，如果对任意的常数C，有 T(u+C) = Tu + C 如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。,定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x)是R2上的Lipschitz函数，那么Tu(x)也是Lipschitz函数，并且

5、Tu(x)的Lipschitz常数比u(x)的Lipschitz常数小。 Lipschitz常数定义：如果函数u满足 |u(x) u(y)| k |x-y| , x, y 则u为Lipschitz函数，k为u的Lipschitz常数。,证明： 假设u的Lipschitz常数为K。对任意的x,y,z有 |u(x+z)- u(y+z)| K|x-y| u(y+z)- K|x-y|u(x+z)u(y+z)+ K|x-y| 因为T单调，考虑上面关于z的函数，有 T(u(y+z)- K|x-y|)Tu(x+z)T(u(y+z)+ K|x-y|) 注意到取 z=0, 有 T(u(y+z) = (Tu)(y

6、)， 用T的灰度平移不变性（将K|x-y|看做C ）得 Tu(y)- K|x-y|Tu(x)Tu(y)+ K|x-y|。 |Tu(x)- Tu(y)| K|x-y| ,6.1.2 从形态学算子到集合算子 记集合XW上的特征函数为1x，即 1x也被认为是一个图像函数，即1xF 。 借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算子）T衍生出一个集合变换T。,定义4：令T是一个单调、对比不变的图像变换，定义T的伴随集合算子T为 X W, 1X F T(X) = c1( T(1X) ) 另外 T(F) = F, T(W) = W 如果T作为函数是单调的，那么T作为集合变换也是单调的。因为 X Y

7、 1X 1Y T作为单调的图像变换，使单调性得以保持 T(1X) T(1Y),定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数gl(s)定义为, 如果sl，则 gl(s) = 1 ；否则gl(s) = 0 。那么T几乎处处和每一个阈值函数相交换，即 gl (Tu) = T( gl (u) ) 对l,x几乎处处成立。 证明：定义,则 gel (s) 是对比变换（连续、单调递增的），且gel(s)gl，于是 同样的方法，用不减函数 g el gl，可证明 T( gl(u) ) g-l(Tu) 其中，g-l(s)=1 ，当sl 时； g-l(s)=0 ，当 sl时。 因此，有 gl(Tu) T( gl(

8、u ) ) g-l(Tu),我们考虑可数因而可忽略的子集R，所有的l 满足 meas( x, Tu(x) = l ) 0 对于l R ，有 g-l(Tu) = gl(Tu)几乎处处成立。这样对几乎每一个l，会得到 T( gl(u) ) = gl(Tu) 几乎处处成立。 ,定理4：T是定义在图像函数集合F 上的单调对比不变算子，1xF 。T的伴随集合算子为T，则T是单调的，并且 uF 有 T( clu) = cl(T(u) * 对l, c几乎处处成立。并且 Tu(x) = sup l,xT(clu) * 对x几乎处处成立。另外， T(F) = F, T(W) = W 几乎处处成立。,*式说明图像

9、变换后的水平集是原图像水平集（并且是同一个 l）在伴随集合算子作用下的结果。 T(F) = F 说明当l=1时，*式成立； T(W) = W 说明当l=0时，*式成立。 这里涉及到水平集和最大值表示公式： cl(u) = xW ; u(x) l u(x) = sup l; x cl(u) ,证明：根据T的定义，显然有 1clu = gl(u) c1( gl(v) ) = clv 并且T和gl几乎处处可交换。由定理3，得到： T(clu) = c1( T(1clu ) ) = c1( T( gl(u) ) ) = c1( gl(Tu) ) = cl(Tu) 对于x, l0 几乎处处成立。 由 T

10、(clu) = cl(Tu) 知 T(clu)是Tu的水平集。 那么显然*式成立。,令u是一个常函数0，对于l0 ，有clu= F 。 利用*式，有 cl(Tu) = T(clu ) = T(F ) 对 l0几乎处处成立。 而且，由于对比不变算子T和常函数0相交换，因此 Tu = 0，并且对 l 0 ，cl(Tu) = F，则有 T(F) = F几乎处处成立。 同理可证 T(W) = W。 ,定理说明：如果图像变换T是单调且对比不变的，那么计算Tu可以通过一下算法实现： （1）计算u的所有水平集 cl(u) ( l0,1 )； （2）对每一个水平集 cl(u) ，用T的伴随集合算子T作用，得到

11、 T( cl(u) )； （3）用最大值表示公式得到Tu, 整个过程如下。 这种算法适用于T难以实现，而T容易计算的情况。,6.1.3 从集合算子到形态学算子 考虑，给定一个单调的集合算子T是否可以得到一个对比不变的单调图像变换呢？ 自然的思路就是令 Tu(x) = sup l,xT(clu) 定理5：令T是一个Y Y单调算子，满足 T(F) = F , T(W) = W 那么，可以定义图像变换 Tu(x) = sup l ,xT(clu) ,对于所有的l，满足 cl(Tu) = T(cl(u) 则对几乎所有的 l R g(Tu) = T(g(u) 证明：对每一个l ，我们有 cl(Tu) =

12、 T(cl(u) 即对R中的所有l满足meas(R) = 0。 注意到uv当且仅当 clu clv ，对R的一个稠密可数子集合上的所有l ，可得T是单调的 cl(Tu) = T(cl(u) T(cl(v) = cl(Tv) Tu Tv,下面证明，T和对比变换相交换。 假设g是严格增加的，设 和 ，对于 lg(+) 有 clg(u) = F，因此，T(clg(u) = F；对于 lg(-) 有 clg(u) = RN，因此 T(clg(u) = RN 。 T( g(u(x) ) = sup l, g(-) lg(-) , x T(clg(u) = sup g(m), x T(cgg(u) = s

13、up g(m), x T(cmu) = g( Tu(x) ),下面验证T和一般的不减对比变换g相交换。 严格增加连续函数gn和hn满足 gn(s) g(s)，hn(s) g(s) 对所有的s和gnghn。因此由上面结论有 T(g(u)T(gn(u) = gn(Tu) g(Tu) T(g(u)T(hn(u) = hn(Tu) g(Tu) 可以推出 T(g(u) = g(Tu)。 ,6.1.4 应用实例：“Extrema Killer”算子 “Extrema Killer”算子是一个图像光滑算法，作用是去除图像中的“峰（peak）”孤立的水平集，尤其对椒盐噪声效果显著。算法如下： （1）假设一个集

14、合X有若干连通区域组成 定义一个集合变换 Tb(X) = Xb，而 （2）Extrema Killer图像变换定义为 Tbu(x) = sup l ,xTb(clu) ,*式定义了集合算子是Extrema Killer变换的伴随集合算子，即 cl(Tbu) = Tb(clu),噪声图像 killer算子作用后图像 （改进的Extrema Killer）,6.2 平移不变的形态学算子 主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算子，也就是平移不变的单调集合算子。 记平移为tx，且满足 （1）对于集合X： txX = x+X = x+y | yX （2）对于图像u： (tx)u(y) = u(y

15、-x) 其中x不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。,定义5：集合算子T是平移不变的，如果 tx( T(X) ) = T( txX ) 定义图像变换是平移不变的，如果 tx( T(u) ) = T( txu) 定理6：（Matheron）令T是平移不变的单调集合算子，那么存在一个集合族B B = X, 0 T(X) 其中0是R2中的原点，T满足 其中X-y = X+(-y)。相反*式也定义了一个单调、平移不变的集合算子。,证明：先看*式等价于 利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系,第五个等价性质成立理由是： 如果 BX，并且BB 那么XB ，因为BB ，即 B, 0T(B) 又因为BX，

16、则有 X, 0T(X) XB 就有 。 相反的，如果算子通过*式定义，显然是单调和对比不变的。 ,定理7：F 是图像函数空间，Y是 F 中所有水平集的集合。假设对比不变下是稳定的，并且包含了T中所有元素的特征函数。令T是T的伴随集合算子。如果xR2，集合族B x = X, xT(X) 那么uF 有： 对x几乎处处成立。其中B =B 0 X,0T(X) 另外，如果T是位移不变算子，则 相反的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该算子是单调和对比不变的。,证明：令 其中B x = X, xT(X) x 以下证明Tu(x) = Tu(x)几乎处处相等。 选择一个可数的稠密y0,1，满足 ly, cl

17、Tu(x) = T(clu)(x) 对xRNNl成立。（对比下稳定定理4） 这里Nl的Lebesge测度为0。设N=Nl ，则N的Lebesge测度也为0。,为证明定理，先证明对所有的ly和所有的 xRNNl，有：（即处处相等了） Tu(x) l Tu(x) l 对任意 l,my，我们有：,第五个等价关系：因为如果BB 并且BB x则 XB x。 B, 0T(B) 、 B, xT(B) 因为BX则有 X, 0T(X) 、 X, xT(X) = B x 那么，如果某些BB x, 那么一定有Bcmu ，就也有 cmuB x， 于是证明了提出的命题。 ,布尔代数（Boolean Algebra）中有

18、个著名的结论： 如果T是一个sup inf形式的算子，那么T也具有 inf sup的形式，即 此时的B 与sup inf形式中的B 是不同的。,定理8：如果T是平移不变的形态学算子，那么它的伴随算子集合T可以通过一下公式来定义， 证明：T满足定理7，并且可以延拓到F 中函数的所有水平集。很容易由定理7推出定理6的结果。 对于X的特征函数1x，则 ,当x + B X ,当x + B X 于是， 当且仅当BB 满足 x+BX和定理6。,6.3 形态学算子：膨胀和腐蚀算子 6.3.1 定义 定义6：X是R2中一子集，t0是一尺度参数。称Dt是基于一个集合B和尺度参数t的膨胀，如果 其中集合B称为结构

19、元素。同样，Et表示结构元素B的尺度参数t的腐蚀 公式说明Dt和Et是平移不变的单调集合算子，满足定理6，此时B 中只含有一个元素tB。,例2： （1）如果结构元素B=x0是仅仅包含一个点的集合， 那么DtX = X+tx0是一个平移算子。相应的， EtX = X - tx0也是一个平移算子。 （2）如果结构元素B是一个圆心在原点半径为1的开球 D(0,1)，那么DtX就是X的t-领域，即与X的距离小于t 的所有点的集合。 (3)令B = D(0,1)，则,定理9： （1）Dt(Xc) = (EtX)c其中Xc = R2/X； （2）如果结构元素为D(0,1)，那么Dt，Et是旋转不变的，即它

20、们和旋转运算可以交换； （3）Ds+t= DsDt（ Es+t= EsEt），当且仅当结构元素B是凸的。 证明：（1）,（3）首先证明 任取B, (t+s)B = tB+sB当且仅当B是凸的。 因为tB + sB= sx+ty | x,yB ，所以ztB+sB, x, yB，满足 而(s+t)x和(s+t)y都属于(s+t)B，又因为B是凸的，所以(t+s)B = tB+sB。反过来，如果(t+s)B = tB+sB成立，那么对于任意的x,yB,存在zB，满足 (s+t)z = sx+ty，也就是 所以B是凸的。,注意到 DtDsX = (X+sB) + tB = X + sB + tB Ds

21、+tX = X + (s+t)B 根据上面的结论，Ds+t = DsDt成立当且仅当它们的结构元素B是凸的。 同样的结论也适用于腐蚀算子。 ,定义7：u是一副图像，称Dt是基于结构元素B和尺度参数t的膨胀变换，如果 类似，基于结构元素B和尺度参数t的腐蚀算子Et被定义为 上面的定义说明Dtu(x)具有inf sup的形式，即 而B 只含有tB一个元素，所以Dt是一个平移不变的形态学算子，Et亦然。,定理10：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果B是关于0对称的，那么 -Et(-u) = Dt(u) 证明： 第三个等号是由于B的对称性。,原图 对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀） 结构元素是圆盘,I = i

22、mread(star.bmp); subplot(1,2,1),imshow(I); J = I; w,h = size(I); r = 10; for i= r+1:w-r for j= r+1:h-r min = 256; for x = -r:r for y = -r:r if sqrt(x*x+y*y)r ,I = imread(star.bmp); subplot(1,2,1),imshow(I); J = I; w,h = size(I); r = 10; for i= r+1:w-r for j= r+1:h-r max = 0; for x = -r:r for y = -r:

23、r if sqrt(x*x+y*y)max max = I(i+x,j+y); end end end J(i,j) = max; end end subplot(1,2,2),imshow(J);,原图,膨胀,腐蚀,I = imread(girl.bmp); subplot(1,3,1),imshow(I); se = strel(disk,4); D = imdilate(I,se); subplot(1,3,2),imshow(D); E = imerode(I,se); subplot(1,3,3),imshow(E);,从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨胀和腐蚀都不可能成为

24、一个好的滤波器，因为膨胀是图像变亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加了黑色区域）。但经过一些组合可以产生很好的滤波效果。 开运算：先对图像进行腐蚀然后再膨胀； 闭运算：先对图像进行膨胀然后再腐蚀。 例如： T = Dt 。Et 。Et 。Dt T= Et 。Dt 。Dt 。Et,原图 腐蚀 膨胀、腐蚀,膨胀、膨胀、腐蚀 腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀,原图,膨胀 腐蚀、膨胀,腐蚀、腐蚀、膨胀 膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀,集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存在以下关系： （1）令图像膨胀变换的结构元素为 -tb，bB ， （2）令集合膨胀算子的结构元素为B， 由于此时 Dt(clu) = cl(Dt

25、u) 所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随集合算子。,所以有： Dt(clu) = cl(Dtu),6.3.2 偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子 记 其中 表示内积，当B = D(0,1)时， | |B就是Euchlid范数。 定理11：（Lax formula）如果u(t,x) = Dtu0(x)，并且结构元素B是凸的，那么u(t,x)满足 ut = | Du |-B 其中u对x两次可微。对应的，如果u(t,x) = Etu0(x)，那么u(t,x)满足 ut = - | Du |-B 其中u对x两次可微。,证明：先看在t=0时的性质。假设u0在x处是C2的，已知 u(t,x) = Dt

26、u0(x)，u(0,x) = u0(x) 所以 既然u0在x处是可微的，那么 两边同除以h，并令h0，得到（t=0时成立）,下证对于任意尺度t时具有同样的关系： 由于B是凸的，因此Dt+h= DtDh= DhDt，所以 u(t+h,x) - u(t,x) = Dh(u(t)(x) - u(t)(x) 两边同除以h，并令h0，由上面的结果且用u(t)代替u0，就得到一般的结果。 6.3.3 膨胀和腐蚀算子的离散算法 膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算子的伪代码。 已知图像u的分辨率为mn，ui,j（i=1,m,j=1n）表示在i,j处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，Vi,j表示运

27、算的结果：,Dilation(u,B,t) FOR x0 = 1 to m FOR y0 = 1 to n FOREACH(tB中的像素点p) 得到p的坐标(px,py) 将ux0+px,y0+py的灰度值存入数组array中 求array中的最大值max_array 令Vx0,y0= max_array END FOREACH END END,6.4 形态学算子：中值算子 6.4.1 定义 首先假设图像u的所有水平集都是Lebesgue可测的。权函数k(y)满足 集合B的k-测度为 定义8：令X是R2的一个可测子集，k是权函数。称X的中值集（k加权）并用medkX来表为 medkX= x,

28、|X-x|k1/2 ,定理12：算子 medk:YY是单调的算子并且满足集合连续性质，即，如果 (Xl)lR是一个递减的可测集合，并且满足 Xl = mlXm, lR 那么 medk(Xl) = mlmedk(Xm) 证明：由medk的定义知其是单调的， XY X-xY-x 所以 medk(Xl) mlmedk(Xm) 反过来，令 x mlmedk(Xm),由medk的定义可得 m , |Xm - x|k 12 因为Xm是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根据实变函数中的Lebesgue极限收敛定理 |Xm - x|k |Xl - x|k 并且|Xl - x|k1/2，再由medk的定

29、义，有xmedkXl 即 medk(Xl)ml medk(Xm) ,其中 可测，且,其中 可测，且,则有,若,定义9：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素B，其定义为 显然，medk(u)是个sup inf型的，是一个平移不变的形态学算子。 如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都记为medk。 medk作为一个单调的集合算子，可以用最大值表现公式扩展到一个图像的变换T（定理4） Tu(x) = sup u(x) | xmedk(X) 同时满足 cl(Tu) = medk(clu),由于medk作为一个单调、平移不变的集合算子，所以T是一个单调的、对比不变的变换，根据定理7 其中B

30、= B,0medk(B) 。所以有： 定理13：medk是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。 6.4.2 中值算子的离散算法 已知图像u的分辨率为mn，ui,j（i=1,m,j=1n）表示在i,j处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，Vi,j表示运算的结果：,Median(u,B,t) NB = 结构元素B的像素数目 FOR x0 = 1 to m FOR y0 = 1 to n FOREACH(B中的像素点p) 得到p的坐标(px,py) 将ux0+px,y0+py的灰度值存入数组array中 对array进行排序，排在第（NB/2+1）的值med_array 令vx0,y0=med_arr

31、ay END FOREACH END END,噪声图像及32：32：224水平线,中值滤波后图像及32：32：224水平线,Matlab源码： Image = imread(lena.bmp); subplot(2,3,1),imshow(Image); I = imnoise(Image,salt ,6.5 欧氏不变的形态学算子 6.5.1 定义和微分性质 记 Ha = Tx1+ax22(0) 其中Tx1+ax22表示T(u)，u = x1+ax22。如果T是单调的，那么H也是单调的。定义 Thx = hTx = hH0 Thx1+ax22(0) = hTx1+hax22(0) = hHah

32、 用D(0,M)表示圆心在0，半径为M的圆。,定理14：令B 是一族R2有界子集族（ BB ，BD(0,M) ）并且是各向同性的（ BB ，RBD(0,M)，R是一个旋转变换 ）。令 和相关的带参数h的变换 那么，对于任意C2的函数u，有 (Thu)(x) = u(x) + hTx(0)| Du |(x) + O(h2),证明：由于T( u-u(x) ) = Tu - u(x)，不失一般性，令u(x)=0。因为T是平移不变和旋转不变的，选择图像支撑集W的左下角定位在x，两个轴的方向(i,j)定义为 所以，对y = (y1, y2)，Talyor展开有 u(y) = py1+ O(|y|2) 其

33、中p = |Du|(0)0，这是因为 ，u=x1+ax22。从而可以有， 如果y = (y1,y2)hD(0,M)，那么 py1 - O(h2) u(y) py1+ O(h2) |y|2 |(hM)2| O(|y2|)O(|h2|)M2 O(h2),根据Th的单调性，又因为BB ,BD(0,M)， 故 Thu(0) = Thpy1(0) + O(h2) 再由前面的定义 Thu(0) = Thpy1(0) + O(h2) = ph( Ty(0) ) + O(h2) 利用p = | Du(0) |，u(x) = 0 可得结论。 ,定理15：令B 是一族R2有界子集族（ BB ，BD(0,M) ）并

34、且是各向同性的（ BB ，RBD(0,M)，R是一个保距变换 ）。令 和相关的带参数t的变换 设H(0)=Tx(0)=0，则对R2上的每一个C3函数u，有 （i）对每一个紧集K x, Du(x)0 Thu(x) = u(x) + h|Du(x)| H(1/2hcurv(u) + Ox(h3) 其中D(u)表示微分算子，|Ox(h3)|Ckh3 ,常数Ck依赖于u和K，且,（ii）对每一个紧集 KR2且 K x,Du(x) = 0 有 | Thu(x) u(x) | M2 h2 | D2u(x) | + Ox(h3) 其中 Ox(h3) Ckh3,常数Ck依赖于u和K。 （i）结论，刻画各向同性

35、的形态学算子的微分性质，和第五章定理1类似，对Th有下面的结论：,令h0，n，并且nh2 = t，那么 是下面偏微分方程初值问题在t时刻的解 其中g是一个单调函数。,6.5.2 中值滤波的微分性质 定义9中的结构元素B = D(0,h)，k测度是B上的平均测度，即 k = lD(o,h) ph2 所以 这里选择了特殊的结构元素B，所以此时med是个欧氏不变的形态学算子。下面讨论一下它的性质：,定理16：令u是R2上的一个C3函数，则 (i) medD(0,h)u(x) = u(x) + 1/6 curv(u) |Du|(x) h2 + O(h3) 其中O(h3) Ckh3，对 x,Du(x)0

36、 上的每一个紧子集； (ii) | medD(0,h)u(x) u(x) | |D2u(x)| h2 + O(h3) 其中O(h3)Ckh3，对R2上的每一个紧子集。,定理17： medD(0,1)y1 + hy22(0) = h3 + O(h3) 证明：当h比较小时，抛物线p(h)把D(0,1)分割成两块相交的区域，其中p(h)的方程是 x+hy2 = m。,由抛物线和OY轴组成的区域，其代数面积为 （OY轴左侧面积为负，右侧面积为正） 抛物线顶点位置为(m(h),0)决定这两块区域的面积。如果抛物线p(h)把D(0,1)分割为两块面积相等的区域当且仅当 2m(h) 2h3 = 2area(

37、ABE) 不计算area(ABE)的值，只需给出一个估计,所以,|2m(h) - 2h3| |m(h) - h|3 最后可以得到 m(h) = h3 + O(h3) ,对于x + hy2 = m截圆面积一半，其实是h0，此时m(h)0 令t = m-h3，则|2t| (t - 2h3)3 |2th| (th - 23)(th - 23)2h2 h0右边0，即th0 2th 8h227 即 th3 854 得到 t与O(h3)同阶。即得 m-h3 = O(h3),定理16的证明： 根据定理17，与medD(0,h)相关的H(0) = 0。所以可以使用定理13，由定理17得到 H(h) = h3

38、+ O(h3) 所以（i）（ii）可以由定理15的（i）（ii）得到。 6.5.3 中值曲率驱动（mean curvatrue motion）方程 由定理16，令h0，n，并且nh2 = t，那么,是下面偏微分方程初值问题在t时刻的解： 当C=1时，就是中值曲率驱动（MCM）方程。,原图 MCM步长0.1迭代2次,步长0.1迭代5次 10次 均值滤波,步长0.2迭代5次 步长0.5迭代2次,I = imread(other.bmp); subplot(1,2,1),imshow(I); w,h = size(I); I = double(I); t = 0.1; N = 10; for k =

39、 1:N Dx = zeros(w,h);Dy = zeros(w,h); Dxx = zeros(w,h);Dyy = zeros(w,h);Dxy = zeros(w,h); for i = 2:w-1 for j = 2:h-1 Dx(i,j)= I(i+1,j)-I(i,j); Dy(i,j)= I(i,j+1)-I(i,j); Dxx(i,j)= -2*I(i,j)+I(i-1,j)+I(i+1,j);,Dyy(i,j)= -2*I(i,j)+I(i,j-1)+I(i,j+1); Dxy(i,j)= Dx(i,j+1)-Dx(i,j); end end for i = 1:w for

40、 j = 1:h if Dx(i,j)*Dx(i,j)+Dy(i,j)*Dy(i,j)= 0 I(i,j) = I(i,j) +t*(Dxx(i,j)*Dy(i,j)*Dy(i,j)-2*Dxy(i,j)*Dx(i,j)*Dy(i,j)+Dyy(i,j)*Dx(i,j)*Dx(i,j)/(Dx(i,j)*Dx(i,j)+Dy(i,j)*Dy(i,j); end end end end subplot(1,2,2), imshow(uint8(I);,从试验结果可以看出，MCM算子不仅起到了滤波的作用，同时保留了清晰的边界而没有被模糊，这与线性滤波器有本质上的不同。 数值解法： 其中,6.6 仿射不变的形态学算子 6.6.1 定义 讨论具有对比不变、仿射不变的单调图像变换，即仿射不变的形态学算子。 定义10：形态学算子T被称为仿射不变的，如果对应任意的一个仿射变换Aff， Aff 。T = T 。Aff 即 Aff( Tu(x) ) = T( Aff(u(x) )， u，x 其中 Aff(