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文档简介
习题课,1、用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换：,2、用初等变换法化二次型为标准形:,5、证明：若实二次型 中某一,平方项akkxk2的系数akk0，则该二次型不是正定的。,6、已知二次型,的秩为2。,（1）求a的值； （2）求正交变换x=Qy，把 化成标准型。 （05年研究生考题）,7、设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量,是线性方程组Ax=0的两个解。,（1）求A的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QAQ=； （3）求A及 ，其中E为3阶单位阵。,（06年研究生考题）,1、 解,二次型f 的矩阵A为,A 为特征多项式为,所以 A 的特征值为,当,时, 解方程组,即,得基础解系,当,时, 解方程组,即,得基础解系,则 p1、p2、p3 为 A 的三个线性无关的特征,向量且这三个向量两两正交.,现把它们单位化.,令,令,则,且,令 X = PY , 则 f 的标准形为,所作的正交替换为,2、,解,该二次型对应的矩阵为,所以二次型的标准形为,所用线性替换为,6. 解：（1）由A的左上角行列式为零可得a=0； （2）略。,7. 解：（1）由A的各行之和为3可得：,故3=3是A的一个特征值，3=(1,1,1)T是A的属于3的特征向量。,又A1=0，A2=0，则1，2是A的属于=0的两个线性无关的特征向量。,（2） 对1，2
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