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1、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,张连宽 ,第一章 矩 阵,第四章 向量的内积与二次型,第六章 Matlab软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第五章 线性空间,第三章 矩阵的特征值与特征向量,第一章 矩阵与线性方程组,1 矩阵及其运算,3 行列式及其性质,2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法,第一节 矩阵及其运算,1.1.1 线性方程组及其矩阵表示,1.1.2 矩阵的基本运算及性质,1.1.3 逆矩阵,1.1.1 线性方程组及其矩阵表示,m个方程， n个未知数,定义,称为m行n列矩阵 ，简称,其中诸,叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记,矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标。,行矩阵,列矩阵

2、,元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为O,矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。 把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵,几种特殊形式的矩阵,称为对角矩阵,n阶单位矩阵，简记作E.,三角形矩阵有两种，分别称 或 为上三角形矩阵或下三角形矩阵。,EA=AE=A,数量矩阵,两个矩阵行数相同，列数也相同时，称为同型矩阵,定义,那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B,1.1.2 矩阵的基本运算及性质,一 矩阵的加减法,定义,那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为,对应元素相加,例,设,则,矩阵的加法满足下列运算规律,（i）A+B=B+A (交换律）,（ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结

3、合律）,(iii) A+O=O+A=A,-A称为矩阵A的负矩阵，显然有,A+(-A)=(-A)+A=O,矩阵的减法：A-B=A+(-B),对应元素相减,二 矩阵的数乘运算,定义,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,并记作,C=AB,矩阵的乘法的：,矩阵乘法的规则：,（1） 两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第I行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。,(2) 为保证规则（1），前矩阵的列数应与后矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。,（3） 乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列数与后矩阵相同。,A,

4、m,=,n,n,p,m,p,B,C,矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素,等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。,例,设,求AB,矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义,例,设,AB,求AB和BA,BA,AB和BA都意义，但不同型,例,求AB和BA,AB,BA,(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,例,求AB和BA,AB,BA,=AB,如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换,矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律,(i) (AB)C=A(BC)

5、,(ii),(iii),矩阵的幂,设A是n阶方阵，k为正整数，则,表示,k个A连乘, 如,显然，只有方阵的幂才有意义,转置矩阵,把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作,行列对调,例,运算规律,对称矩阵,如果方阵A满足,就称A为对称矩阵,例如,方阵A为对称矩阵,矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等,设A为任意矩阵，则,恒为方阵，且都是对称矩阵,设B为任意方阵，则,恒为对称矩阵,1.1.3 逆矩阵,AB,BA,称B为A的逆矩阵,定义,设A为n阶方阵。,AB=BA=E,就称为A可逆矩阵，,如果存在n阶方阵B，使得,并称B为A的逆矩阵（简称逆),记作,定理,如果A是可逆

6、矩阵，则A的逆矩阵唯一,证明,设B和C都是A的逆矩阵，,则AB=BA=E, AC=CA=E,B,=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC,=C,性质,定理,如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且,证明,故由推论1便知AB可逆，且,同理有：,性质,如果A是可逆矩阵，则A的每一行不能全为零，A的每一列也不能全为零。,证明：假设A的第i行全为零，则有矩阵乘法知,的第i行全为零。这与,矛盾。同理，每一列,也不能全为零。,逆矩阵的应用,记,方程组的矩阵形式,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,如：,则不是分块矩阵。, 分块矩阵,二、分块矩阵的运算规则,其中,