三角形的等积变形

1、三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状本讲

2、即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：等底、等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍例1. ABC的面积是ABD或ADE或AEC面积的3倍 例2. ABC与DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等例3. ABC与DBC的底相同（它们的底都是BC

3、），ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则ABC的面积是DBC面积的2倍例4. 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形方法1：方法2：方法3：方法4：例5、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及134方法1： 方法2：方法3：当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决例6、如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相等例7、如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形解：连结BD；过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A连结AD，则ACD与四边形ABCD等积 例

4、8、如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积。解法1：连结BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）解法2：连结CE，如右图所示，在ACE中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）例9、如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=1/3BC，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？4/9例10、如右图，ABCD为平行四边形，EF

5、平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积解：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米） 例11、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形EFGH的面积。解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2连结FD，有SFBD=SDBC=S1 所以SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位） 例12、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE=1，求BEF的面积解：连结AC，A