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文档简介

1、1,级数,函数项级数的微积分性质,2,函数项级数的微积分性质,函数项级数的连续性 函数项级数积分换序(逐项积分) 函数项级数的可微性(逐项求导) 若必要,为了记号上的简单,仍以为区间的情形来叙述相关的结果,3,函数项级数的连续性,设unC(). 如果un在上一致收敛,则函数 在上连续. 证明 这是极限定理的直接推论#,4,函数项级数逐项积分(I),设unL().|0, 使得当nN时,5,逐项积分(I)证明(续),因此由|可知=un L() 所以,6,|=时的反例,=0,), , n在上一致收敛到零函数而相应的积分列,7,函数项级数逐项积分(II),设un在上非负可测.则 设un在上可测,且|u

2、n|L().则=un L(), 且,8,函数项级数逐项求导(I),设开, un, un/xkC(), un 在上处处收敛, un/xk在上一致收敛, 则 因此,9,逐项求导(I)的证明,取定x, 由开, 存在h0, 连接x-hek和x+hek 的线段L含在内,则对于yL,由微积分基本定理,10,逐项求导(I)的证明(续1),注意un/xk在L上一致收敛,因此,11,逐项求导(I)的证明(续2),即 注意un/xk在L上是yk的连续函数,由微积分 基本定理就得到结果#,12,函数项级数逐项求导(II),设开, un在上有偏导数un/xk, un 在上处 处收敛,un/xk在上一致收敛, 则,13

3、,逐项求导(II)的证明,为记号简单考虑一维情况,取定x,由开, 存在0, L=x-,x+, 设|h|, 记=un考虑 差商 下面只要证明右边的级数关于h在 -,0上 一致收敛就够了.,14,逐项求导(II)的证明(续1),任取0,由dun/dx在L上一致收敛, N,nN, m0, 因此当nN,m0时,15,逐项求导(I)的证明(续2),由极限定理,16,导函数列或级数不一致收敛的反例,考虑函数列： 其极限函数： 导数函数列： 其极限函数： 导函数列在(0,)上不一致收敛：,17,级数定义的函数例1,Riemann的(Zeta)函数: 在(0,)上有任意阶导数. 解：只要证明0, 在1+,)上都一致收敛就够了(习题)#,18,

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