4第四节 正交变换

1、第四节 正交变换,返回,定义9 V的线性变换A称为一个,如果它保持向量的内积不变，即对, V,(A, A)=(, ).,可以从几个不同方面公平加以刻划.,在解析几何中，我们有正交变换的概念. 正交变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在一般的欧氏空间中，我们有,返回,定理4 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：,1)A是正交变换；,2)A保持向量的长度不变，即对于V，|A|=|；,3)如果1,2,n是标准正交基, 那么A1,A2,An 也是标准正交基；,4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,证明 (1)2),1)2)因为A是正交变换，即有(A, A) =(

2、, )，,两边开方即得 |A|=| .,返回,(A, A)=(, )， (A, A)=(, )，,此即为，A是正交变换.,1)2)因为A保持向量的长度不变，即有,及 (A(+), A(+)=(+, +) .,把最后的等式展开得,(A, A)+2(A, A)+(A, A)=(, )+2(, )+(, ).,再利用前两个等式，就有,(A, A)=(, )., (1)3),设1,2,n是一组标准正交基，即有,返回,与 A=x1A1+x2A2+xnAn.,1)3)因为A是正交变换，所以有,(Ai, Aj)=,这就是说，A1,A2,An 是标准正交基.,1)3)因为A1,A2,An 是标准正交基，则由,

3、A=y1A1+y2A2+ynAn.,=x11+x22+xnn.,=y11+y22+ynn.,即得 (, )=x1y1+x2y2+xnyn=(A, A).,因而A是正交变换.,返回, (3)4),3)4) 因为A是正交矩阵，而1,2,n是标准正交基，则A1,A2,An就是标准正交基.,这样，我们就证明了1),2),3),4)的等价性.,设A在标准正交基1,2,n下的矩阵为A，即,(A1,A2,An)=(1,2,n)A.,3)4)由上因为A1,A2,An也是标准正交基，那么A就是由标准正交基1,2,n到A1,A2,An的过渡矩阵，因而A是正交矩阵.,证毕.,返回,因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换

4、是可逆的. 由定义不难看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射(3)，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.,返回,如果A是正交矩阵，那么由,AAT=E,可知 |A|2=1或者|A|=1.,因此，正交变换的行列式等于+1或-1. 行列式等于+1的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.,例如，在欧氏空间中任意取一组标准正交基1,2,n ，定义线性变换A为：,A1=-1 , Ai=i , i=2,3, ,n.,那么，A就是一个第二类的正交变换. 从几何上看，这是一个镜面反射 (参看本章习题15) .,返回,例1 令H是空间R3里过原点的一个平面，对任意R3 ，记对于H的镜面反射的像是. 则映射,例2 设L(R3)，对任意向量=(x1,x2,x3)R3 ，令()=(x2,x3,x1). 则是R3的一个正交变换., :|是R3的一个正交变换.,因为对应的矩阵是A=E-2T为一个正交矩阵，其中是平面H的单位法向量.,因为对应的矩阵是 为一个正交矩阵.,返回,例3 将R2的每一向量旋转一个角的正交变换关于R2的任意标准正交基的矩阵是,又令是例1中的正交变换. 在平面