概率串讲-第二章(彭).ppt

1、第二讲 一维随机变量及其相关问题,1.一维随机变量及其分布 1.1 随机变量与分布函数的概念及性质, 在随机试验的样本空间上定义一单 值实函数X = X (),，若对任意实 数x，X x = : X () xF， 则称X 为随机变量。称函数 F(x) = P(X x) 为随机变量X 的分布函数。, 分布函数F(x)是刻画随机变量X 的取值 的分布特征的，它具有以下的性质： （1）F(x)是一个单调不减函数。 （2）0 F(x) 1，且F() = 0,F(+) = 1。 （3）F(x)是右连续函数。,可以证明：一个函数F(x)是某一个随机变量 的分布函数，当且仅当性质（1）（2）（3） 同时成立

2、。,（4）,（5）,特别，当F(x)在x 处连续时，P(X = x) = 0。,(6) 对于连续型随机变量 X,(7),为分布函数，若,仍为分布函数。,例1,成为某随机变量的,分布函数，应取( ),1.2 离散型随机变量的分布律, 至多取可列多个值的随机变量称为 离散型的随机变量。,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,即,X ,或,分布律的性质,例2（截断的几何分布） 某射手用左轮手 枪（内装6 发子弹）进行射击，设该射手 的命中率为p，且各次射击是相互独立的， 记X 为直到命中目标为止或子弹用完所需 射击的次数，求 X 的概率分布.,解： 的取值为1,2,3,4,5,6.,设 第 次命中

3、目标，,则, 类似问题：一大批产品，其次品率为p， 采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个 次品时为止，或一直抽到10 个产品时就停止 检查. 设X 为停止检查时抽样的个数. 求X 的分布列.,1.3 常见离散型随机变量的概率分布及背景,1.3.1 两点分布,1.3.2 二项分布B(n, p)与超几何分布,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值,例 3 一批产品中有15%的次品，现进行 独立重复地抽样检验，共抽检了20 个样品， 问抽检的20 个样品中最大可能的次品数是 多少？并求出

4、其概率.,由于,不是整数,故最大可能的次品数是3，其概率为：,例4 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布.,例3,帕斯卡 分 布,1.3.3 几何分布与无记忆性,特别地，当r=1时帕斯卡分布退化为几何分布,例 5 某射手的命中率为p，现对某一目标 连续不断地射击，直到第一次命中目标为 止，设各次射击是相互独立的，求他射击 次数不超过5 次就把目标击中的概率.,解：设 第 次命中目标，,则所求概率为：,(3) Poisson 分布与Poi

5、sson 定理,若,的Poisson 分布.,Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式,例6 假设某段时间里来百货公司的顾客数 服从参数为 的Poisson 分布, 而在百货公 司里每个顾客购买电视机的概率为p, 且每 个顾客是否购买电视机是独立的, 问在这段 时间内, 百货公司售出m 台电视机的概率多 大（这里假定每人最多购买一台电视机）？,解：记 Y为百货公司售出电视机的台数, 而X为这段时间内进入百货公司的人数, 故,已知,由全概率公式,故,例7 设某班车起点站上客人数X 服从参数为 0 的泊松分布，每位乘客在中途下车的 概

6、率为p(0 p 1) ，且中途下车与否相互独 立，以Y 表示在中途下车的人数，求 （1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； （2）二维随机变量（X,Y）的概率分布.,解（1）,例8 设随机变量X 服从参数为的Poisson 分布，且也是一随机变量，服从两点分布： P(=1) = p, P( =2) = 1 p ，求X 的 分布列。,解：,1.4 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或

7、概率密度,1,2,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，,3,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,1.4.1 密度函数与分布函数的联系,5,例9 设随机变量X 的概率密度为,若k 使得P(X k)=2/3, 则k 的取值范围是_.,1,3,例10（对称分布） 设随机变量X 具有对称 的密度函数，即f (x) = f (x) ，证明对任意 的a 0 ，有,解:,令,1.5 常见连续型随机变量的概率分布及背景 1.5.1 均匀分布及应用,若 X 的密度函数为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称

8、,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,1.5.2 指数分布的背景及无记忆性,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,解 (1),例11 假定一大型设备在任何长为 t 的时间 内发生故障的次数 N( t ) P(t), 求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.,例4,即,1.5.3 正态分布与标准正态分布,若X 的密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记

9、作 X N ( , 2 ),为常数，,亦称高斯 (Gauss)分布,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,-x,x,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,例12,设,分布函数为F(x),则对,任意实数x,有:,分析:,解一,例6,解二 图解法,0.2,由图,解：二次方程无实根的充要条件是,即,故无实根的概率为,1.6 连续型随机变量的相关问题 1.6.1 分布参数的确定,解：,例16,设X为随机变量,若矩阵,的特征值全为实数的概率为0.5,则 ( ),(1) X服从0,3上的均匀分布;,(

10、3) X服从参数为1的指数分布;,(4) XN(1,2).,分析:,由题设,故应选(4).,例17 设某电子元件寿命的概率密度为,1) 试确定a 值; 2) 某台设备装有三个这种电子元件. 问在 开始使用的150 小时中它们中恰有一个要 替换和至少有一个要替换的概率是多少？,解：1）由,和,得,2）设电子元件的寿命为,则,设三个电子元件中寿命不超过150小时 的元件的个数为 则,1.7 随机变量函数的分布 1.7.1 离散型随机变量函数的分布 列表法,若离散随机变量 X 的分布列为,当 g( x1) g( x2 ) g( xn) 中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即

11、可,则 Y=g( X ) 也是一个离散随机变量，此时 Y 的分布列为,(1)、先计算 Y= g( X ) 的分布函数 FY( y ),(2)、对分布函数求导函数得到密度函数。,1.7.2 连续型随机变量函数的分布, 方法一：直接法, 方法二：公式法（线性函数; 单调函数）,定理：设随机变量X 的概率密度为,可导且恒有,是连续型随机变量，,其中(,)为g(x)的值域，,其概率密度为,公式法,例18 设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,一般地,y, xn,特别地，若g(x)为单调函数，则,y,x1,例19 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解一 从分布函数出发,y,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时，,例5,故,解二,故,例20 设随机变量X 的概率密度函数为,F(x)是X 的分布函数，求随机变量 Y = F (X)的分布函数.,解：设 的分布函数为,因为,当 时，,当 时，,当,即Y 的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见, Y 服从0,1上的均匀分布.,例21 设X E(), 则Y = minX,2的分布函数,