2.2高等数学矩阵的运算

1、2.2 矩阵的运算,一、矩阵的加法,定义: 设两个同型的 mn 矩阵A = ( aij )与B = ( bij ), A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即,例如:,说明: 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.,矩阵加法的运算规律,(1) 交换律: A+B = B+A. (2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).,(3),称为矩阵A的负矩阵.,(4) A+(A) = O, AB = A+(B).,二、数与矩阵相乘,定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作A 或A, 简称为数乘. 即,设A, B为同型的mn 矩阵, , 为数: (1)

2、()A = (A). (2) (+)A = A+A. (3) (A+B) = A+B.,数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算.,定义: 设A = ( aij )是一个 ms 矩阵, B = ( bij )是一个sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C = ( cij )是一个mn 矩阵, 其中,三、矩阵与矩阵相乘,( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作C=AB.,例1:,例2:,例3: 求AB, 其中,注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘.,矩阵乘法的运算规律,(1) 结合律: (AB)C = A(BC)

3、; (2) 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) (AB) = (A)B = A(B), 其中为数; (4) AmnEn = EmAmn = A;,并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m为正整数.,注意: 矩阵乘法不满足交换律, 即: AB AB,(5)若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 即,例如: 设,则,(AB)k AkBk,因此,故, AB BA.,例4: 计算下列矩阵乘积:,(1),(2),解(1):,解(2):,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a2

4、3x2+a33x3,当矩阵为对称矩阵时, 结果为,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,解:,例5:,由此归纳出,用数学归纳法证明. 当k=2时, 显然成立.,假设, 当k=n时结论成立, 对 k=n+1时,所以对于任意的 k 都有:,四、矩阵的其它运算,定义: 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT.,例如:,、转置矩阵,(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;,

5、转置矩阵的运算性质,解法1: 因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:,方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是: A=AT. 方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: A=AT.,证明: 因为,例7: 设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.,HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.,所以, H为对称矩阵.,HHT = H2 = (E 2XXT)2,= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2X

6、XT) = E 4XXT + 4(XXT)(XXT) = E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E,例7: 证明任一n 阶方阵A 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明: 设 C = A + AT,所以, C为对称矩阵.,从而, 命题得证.,则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,设 B = A AT,则 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以, B为反对称矩阵.,2、方阵的行列式,定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .,例如:,则,方阵行列式的运算性质,(

7、1) | AT | = | A |; (2) | A | = n| A |; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.,定义: 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵,3、伴随矩阵,称为矩阵A 的伴随矩阵.,性质: AA* = A*A = | A |E.,证明: 设A=(aij), AA*=(bij).,则,故,同理可得,AA*=(| A | ij ) = | A |(ij ) = | A | E .,= (| A | ij ) = | A |(ij ) = | A | E .,A*A =,4、共轭矩阵,定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 表示aij 的共轭复数, 记 , 称 为A 的共轭矩阵.,运算性质,设A, B为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的, 则:,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘, 且矩阵相乘不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,注意,思考题,思考题解