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文档简介

1、第四章 中值定理与导数的应用,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,第一节,微分中值定理,一、罗尔( Rolle )定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,定义4.1,一、罗尔( Rolle )定理,定理4.1,证明,注意:,几何背景,定理4.2,证明,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由零点存在定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点

2、,但,矛盾,故假设不真!,设,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,二、拉格朗日中值定理,例2,证明,即,例3,证明,三、柯西(Cauchy)中值定理,4.2 泰勒公式,定理4.5,近似表示的余项.,例2,解,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第三节,洛必达法则,下面我们用柯西中值定理推导一种新的求极限的方法洛

3、必达法则,例5. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,第四节 函数的单调性与凹凸性,一、一阶导数的符号与函数的单调性,二、二阶导数符号与函数的凹凸性,性质4.1,证明,一、一阶导数的符号与函数的单调性,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,利用函数的单调性证明不等式,例4,证明,定义4.2,二、二阶导数符号与函数的凹凸性,推论,解：显然，函数的定义域为一切实数,性质4.3,二、函数的最值及求法,一、函数的极值及其求法,4.5,函数的极值与最值,性质4.4,4.6 函数作图,定义4.4,例

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