第六章 微分与相关计算.ppt

1、第六章 微分、积分与相关计算,6.1 极限的计算,函数的极限是微分的基石。对于复杂函数，极限的计算相当困难，需要各种专门的计算方法。Mathematica内置了完成这一任务的程序，它总是尽力确定极限的准确值。 Limit f x, x-a计算当x趋于a时f x的极限。 例 1 可以利用Direction选项确定左右极限的计算。 1) Direction-1 是的极限作为左极限来计算。 2) Direction-1 是的极限作为右极限来计算。 例 2,Mathematica也可以计算无穷极限以及在处的极限。 例 3 在下面例子中演示了了另一种完全不同的行为。当x-0时，函数要来回振荡无穷次。Ma

2、thematica返回的极限为区间对象Intervalmin, max，表示值的范围介于min与max之间。 例 4,6.2 导数的计算,在Mathematica中有几种计算导数的方法。每种方法都有其优势与不足，因此对于特定的问题，必须进行适当的选择。 1) 如果f x 表示一个函数，那么他的导数表示为f x。高阶导数用f x，等表示。 例 5 撇号也可以作用到内置函数上，见下面的例子所示。如果不给出参数，Mathematica就返回一个纯粹函数，表示所要求的导数。 例 6,2) D f x，x返回 f 相应于 x 的导数。 D f x，x，n 返回 f 相应于 x 的n阶导数。 例 7 3)

3、 Derivative n是一个泛函算子，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的n阶导数。 Derivative n f 用纯粹函数的形式给出 f的n阶导数，而Derivative n f x 计算f在x点的n阶导数。 注意：在Mathematica的内部， f要 被转化为Derivative 1 f 。因此f x 成为Derivative 1 f x。 例 8 Mathematica通过“记住”各种法则来计算函数的复合、和、差、积、商以及他们的组合的导数。如果没有给出函数的定义，那么就可以看出这些法则的内容。 例 9,我们可以通过观察图形，利用Mathematica发现一些基本理论。

4、由罗尔定理可知，在某些条件下，存在一点，该点导数值为零： 令f 为有限闭区间 a, b 上的连续函数，并在(a, b)上可微，假设f(a)=f(b)=0，那么存在一个数c，介于a，b之间，使得f(c)=0。 也就是说，如果光滑函数在a与b两点同时等于零，那么在这两点之间必存在一点，它的导数等于零。 例 10,6.3 最大值与最小值,我们称函数 f 在区间 I 中 c 点达到绝对（全局）最大值，是指对 I 中所有点 x ，f (x) f (c)成立。绝对最小值的定义类似。微分学的一个重要应用就是优化问题的求解，即在某种限制下求出函数的最大值与最小值。 并不是所有的函数都具有绝对最大值和最小值。然

5、而最值定理给出的条件保证了它的存在性： 如果 f 为有节闭区间上的连续函数，那么 f 在这个区间上既具有绝对最大值，也具有绝对最小值。 函数 f 的临界点就是数 c 满足f(c) =0或者f(c)不存在。在本章中我们只考虑可微函数， 因此导数点也就是导数值等于零的点。,可以证明，如果函数在有界闭区间 a, b 上连续，那么它的绝对最大值和绝对最小值就在临界点或者区间断电上达到。由此我们可以利用Mathematica帮助我们计算函数的最大值和最小值。 例 11 称函数 f 在C点达到相对（或局部）极大值是指存在包含 c 点的开区间 I ，使得对于 I 中所有点 x ，f (x) f (c)成立。

6、也就是说存在一个包含 c 的开区间使得 f (c)为这个区间上的最大值。相对极小。值的定义类似。 与绝对最大值（最小值）不同，函数可能具有几个相对极大值（极小值）。如果希望知道他们所有的近似位置，那么可以用Mathematica命令FindMinimum有效而方便的计算出来。 FindMinimum f x， x, x0 求出 f (x)靠近x0点的相对极小值。 FindMinimum利用修正的最速下降法计算函数的相对极小值。可以用选项Method-Newton或Method-QuasiNewton改变所使用的方法。 与FindRoot一样，如果希望得到更高的准确度，可以设置AccuracyG

7、oal和WorkingPrecision选项。,虽然Mathematica并没有提供计算相对极大值的命令，但-FindMinimum -f x , x, x0 就可以做到这一点（在答案中会出现额外的负号，但可以忽略）。 例 12,6.4 幂级数,最好处理的函数是多项式函数，因为它是连续函数，而且可以很容易的计算它的微分与积分。基于此，如果在实际问题中遇到了一个困难的函数，我们可以想办法用多项式逼近它。 如果知道了函数在单个点a的函数值与它的各阶导数值，那么函数可以用幂级数准确表示，然而这通常是一个无穷级数，在实际应用中必须截断。技巧就是使截断后的函数在a的某个邻域内比较准确的逼近给定函数。 大

8、家知道用泰勒级数可以给出解析函数 f (x) 的表示。泰勒级数是无穷级数，如果截断这个无穷级数，忽略所有次数高于n的项，那么就得到了 f 在某点的n次泰勒多项式。 可以用Sum命令给出n次泰勒多项式的方法。 例 13,在Mathematica中有一条方便的命令，用来构造逼近一个函数的级数。 Series f x, x, a, n 生成一个SeriesData对象，表示 f x在a点的次数为n的泰勒多项式。 例 14 SeriesData对象表示幂级数，它没有数值。如果要计算由Series命令给出的级数的值，就会遇到麻烦。 例 15 为了把幂级数转化为可以计算其值的形式，可以用函数Normal把

9、它转化为普通的多项式。 Normal级数返回可以计算其值的级数的多项式表示。忽略高阶项oxn. 例 16,如果需要级数中某一项的系数，那么可以用命令SeriesCoefficient。这时实际的级数可能很长，但并不需要完整显示出来。 SeriesCoefficient类似于多项式的Coefficient命令。 例 17,6.5 反导数,函数 f 的反导数就是满足F(x)=f(x)的函数F。命令Integrate可以得到反导数。然而要注意在答案中并不包含积分常数c。 例 18 Mathematica可以计算在标准积分表中能找到的初等函数的反导数，但是如果不能用初等函数表示反导数，这个软件就会尝试

10、用特殊函数表示反导数。如果这还不行的话，它就会返回无法计算的积分。 例 19,6.6 定积分,定积分可以用两种方法计算，一种是准确计算，即用微积分基本定理进行计算，另一种是近似计算，即用数值方法计算积分。可以指导Mathematica选择具体的计算方法，方法就是选用下述两条命令。 1) Integrate f x, x, a, b 只要有可能，就算出积分的准确值。也可以借助BasicInput模板实现同样的功能。 2) NIntegrate f x, x, a, b 严格利用数值方法计算积分的近似值。 NIntegrate利用自适应算法计算积分的近似值，它对积分区间进行分割，直到达到指定的准确

11、度为止。实际上这里对区间进行递归分割，直到达到AccuracyGoal或者PrecisionGoal要求为止。 a) AccuracyGoal选项指定在最终结果中小数点右边有多少位小数。默认值为AccuracyGoal-Infinity，这规定不要用准确度作为终止数值算法的依据。,b) WorkingPrecision选项指定在中间计算过程中要保留多少位精确位数。默认值为WorkingPrecision-$ WorkingPrecision,它通常设为16。 c) PrecisionGoal指定在最终结果中应有多少位准确数字。默认值设为PrecisionGoal-Automatic，Preci

12、sionGoal的值为WorkingPrecision减去10。 另外还有许多选项，可以控制实现算法达到指定的精确度，但我们就不详细讨论了，这些选项对病态函数的积分非常有用，有兴趣的同学可以查看帮助文件。 命令序列N Integrate f x, x, a, b 或者Integrate f x, x, a, b /N在有可能的情况下，先计算反导数，然后应用为积分基本定理计算积分的值。如果这个方法不行的话，它就会自动调用NIntegrate f x, x, a, b 。 例 20,第一类广义积分： Mathematica也可以处理某些广义积分。第一类广义积分是指积分的一个或两个积分限为无穷。定义

13、Integrate f x, x, a, Infinity =Limit Integrate f x, x, a, t, t-Infinity , Integrate f x, x, - Infinity, b =Limit Integrate f x, x, t, a, t-Infinity , 前提条件是这两个极限都存在。这样的积分成为收敛积分。如果Integrate f x, x, - Infinity, a 与Integrate f x, x, a, Infinity 都存在，我们就定义Integrate f x, x, - Infinity， Infinity = Integrate f x, x, - Infinity, a + Integrate f x, x, a, Infinity 。 例 21 第一类广义积分的值可以与在积分式中的参数有关。选项Assumptions可以给这些参数加上取值条件。 例 22,第二类广义积分： 第二类广义积分是指函数在积分区间上不连续。如果 f 在a, b)上连续，但在 b 点不连续，就定义Integrate f x, x, a, b=Limit Integrate f x, x, a, t, t-b, Direct