概率论与数理统计(总复习).ppt

1、总 复 习,返回目录,一、事件与概率 内容 随机事件与样本空间；事件的关系与运算；完备事件组；概率的概念和基本性质；古典型概率；几何型概率；条件概率；概率的基本公式；事件的独立性；独立重复试验 考点 1掌握事件的关系及运算 2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式等 3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算,一. 随机事件与概率,1. 事件之间的关系与运算,事件的包含,事件的相等;,事件的和(并);,事件的积(交);,事件的差;,互不相容事件(互斥);,对立事件.,(1) 所有可能的试验的结

2、果只有有限个；,(2) 每一个结果出现的可能性相同.,2.古典概型,例：审核一个企业在某年的账目，为保证可靠，决定由A、B、C三人同时审核，若三人的正确率分别是0.98，0.85，0.8求（1）三人都正确的概率（2）至少有一个人正确的概率？,例：三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= . P13-14等可能事件例7、8,那末,两人会面的充要条件为,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 ,

3、 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面 上点的坐标 ,则有,3. 加法公式,4. 条件概率,乘法公式,事件的独立性,条件概率,例：如果事件A与B互为对立，则下列（）成立 A.AB= B. C. D.A与B互不相容。 例：已知事件A的概率P（A）=0.5，P（B）=0.6及条件概率 求 分析：,乘法公式,事件的独立性,例：一门高射炮击中飞机的概率是0.6，现有若干高射炮，欲以至少99%概率击中飞机，至少要多少这样的高射炮？ 分析：独立事件，击不中的概率小于1%，则,（先从双中取双，再从每双中任取一只）,（先从双中取出双，在

4、从剩下的只鞋中取只）,互不相容(互斥)与独立是两个不同的概念,试验 E 的样本空间是S,组成样本空间S 的一个划分.,5. 全概率公式与贝叶斯公式,例 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_,例2,解,(1) 由全概率公式得,(2

5、) 由贝叶斯公式得,二. 一维随机变量,1. 分布律,1. 密度函数,例：一批零件有10个，2个废品，现从中任取一个，得到废品不放回，在取到合格品前，已取得废品数的分布律,例：设随机变量X的密度函数为 , 求 (1）系数A, (2) (3) 分布函数,2. 分布函数,分布函数 的性质:,2* F (x)是 x 单调不减的函数;,4* F (x)至多有可列个间断点,且在其间断点处右连续,F (x)的图形是一条阶梯曲线, 在 处有跳跃间断点, 跃度为 ;,F (x)是连续函数,在 f (x)的连续点处,有,3. 求概率,4. 期望,方差,随机变量函数的数学期望,例：设随机变量X的分布函数为 求（1

6、）,例）：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：,处处可导，且,其中,5. 随机变量函数的分布,(1) Y 的所有可能取值;,(2) 取这些值的概率.,定理,Y = g(X) 是连续型随机变量,例已知离散随机变量X分布列为 求随机变量 的分布函数,6. 几个重要分布,* 正态分布查表,例：独立随机变量 则下列不成立的是 例：设 分析： 例：设 则,例：测量某地的距离，发生误差的大小X具有的概率密度函数为： 求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。 分析：,例：已知总体 是来自于总体的一组随机样本，现考虑统计量 求

7、统计量Z的分布，计算 分析：P77 钢丝的抗拉强度服从均值为100，标准差5的正态分布，求强度在90-110间的概率（,三. 二维随机变量,1. 联合概率分布,边缘分布,见书P84，习题1,的可能取值为,例,解（1）放回,(0， 0)， (0， 1)， (1， 0)，（1，1）,（X，Y）的 联合分布律为,见书P84，习题1,的可能取值为,例,解（2）不放回,(0， 0)， (0， 1)， (1， 0)，（1，1）,（X，Y）的联合分布律为,(3) 在 f (x, y)的连续点(x0, y0)处,2. 联合分布函数,(2) F (x, y) 是x 和y 的不减函数；,F (x, y)是每个变量

8、的右连续函数；,(5) 对任意实数 a, b, c, d, (a b, c d ),设二维随机变量,的概率密度为,(1) 确定常数 k；,；,.,(4) 求,例,(1),所以,解,(2),当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4),例2 设（X, Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,解,所以，关于X的边缘分布密度为,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,例,设（X, Y) 的联合分布密度为,（1）求k值,(2) 求关于X和Y的边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),(2),均匀分布,解,得,

9、当 时,当 时,所以，关于X的边缘 分布密度函数为,续解 .,解,当 时,当 时,所以，关于Y的边缘 分布密度函数为,解 （3）,3. 条件分布,4. 随机变量的独立性,则称随机变量X 与Y 相互独立.,X 与Y 相互独立,W = g(X )与V = h(Y) 相互独立,g( ), h( ) 是连续函数.,例.已知(X,Y)的概率密度为,(1)求条件概率密度,(2)求条件概率,x,y,1,解:,1,解答,5. 多维随机变量的函数的分布,和的分布,卷积公式：,X 与Y 相互独立,两个随机变量积（商）的分布 如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则 Z=XY， Z=Y/X的分布密度函数

10、为 P80例4 P87,26,27,两个随机变量最大（小）分布,如果（X，Y）的联合分布密度函数为f(x,y)，则求M=maxX,Y的分布函数 基本步骤为： 1求出边缘分布的概率密度函数 与 2求出边缘分布函数 与 3代入 若求概率密度函数再两边求导,P81,例5 928-30 补充离散型最大与最小的分布律 基本步骤为 1找出（x,y）中可能取得的最大（最小）值令为V 2分别讨论V在可能最得值时（x,y）可能出现的配对及其概率并求出这些概率的和 3列表列出其分布律 P88,36(2)(3),例 设 的联合分布列为,分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的 分布列,解 由（X，Y

11、）的联合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列为,解,解 ,所求分布函数为,分布密度函数为,例2 设（X，Y)的概率密度为,求 (1) P（0X1 ，0Y1） (2) (X,Y)的边缘密度， （3）判断X、Y是否独立。,解 设A=（x，y）：0 x1 ，0y1）, 边缘密度函数分别为,当 时,当 时,所以，,同理可得,所以 X 与 Y 相互独立。,X 与Y 相互独立,X1, X2, Xn相互独立,a1,an不全为零,X2, Xn独立同正态分布,二项分布的卷积公式,X 与Y 相互独立,X,Y 相互独立,分布函数分别是,P77例2-5 P85，9，24，36,当X1, X2, Xn 是独立同分布

12、,分布函数是F (x),6. 随机向量的数字特征,(1) 数学期望,例 7,解：,设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。,(3) 协方差和相关系数,(2) 随机变量函数的数学期望,(4) 性质,X 与 Y 相互独立,X1, X2, Xn相互独立,XY = 0, (X 与 Y 不相关),X 与 Y 不相关,X 与 Y 相互独立,7. 几个重要的分布,二维均匀分布,二维正态分布,X 与Y 相互独立,8. 切比雪夫不等式,随机变量X, E (X)=和 D (X)= 2 都存在,(1) 独立同分布的中心极限

13、定理,独立同分布，,9. 中心极限定理,大数定律,(2) 棣莫佛拉普拉斯定理,(4) 契比雪夫定理,(3) 以概率收敛,(5) 贝努里大数定理,四.抽样分布,取自,取自,两组样本相互独立,其中,取自,取自,两组样本相互独立,当 时，,相互独立,相互独立,相互独立,五. 参数估计,称 是无偏估计.,无偏性：,有效性:,1. 估计量好坏的标准,例：设,是样本容量为3的一组,样本，现有一个关于,估计量,求C为何值时，T是E（X）的无偏估计量,2. 点估计,矩估计法,用样本矩,用样本矩的函数估计相应的总体矩的函数.,估计相应的总体矩,例2 设总体 X 在 a , b 上服从均匀分布 , a , b 未

14、知 . 是来自 X 的样本 , 试求 a , b 的矩估计量 .,解,即,解得,于是 a , b 的矩估计量为,样本矩,总体矩,极大似然估计,解 似然函数为,对数似然函数为,练习 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,求 的最大似然估计值.,其中 0,求导并令其为0,=0,从中解得,即为 的最大似然估计值 .,对数似然函数为,3. 区间估计,(1) 2 已知,的置信水平为1-的置信区间是,(2) 2未知,的置信水平为1-的置信区间,(3) 方差2 的置信区间,的置信水平为1-的置信区间,2 的置信水平为1-的置信区间是,1-2的置信水平为1-的置信区间是,1-2的置信水平为1-的置信区间是

15、,(未知),的置信水平为1-的置信区间,有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平0.95为的置信区间.,解,这里,例：药物一定剂量与病人脉动增加的次数X近似服从正态分布，均值与主差均不知，现查9个病人，得脉搏次数如下： 15 14 10 8 12 18 9 20 求置信度为95%总体标准差的置信区间 假设平均值为10，检验是否可靠（95%）,例：设总体 任取10个样本，得平均数为

16、3.25， 另一个总体任取16个样本，得平均数为2.85，若所取样本相互独立，试求：其期望之差的置信区间为0.95的置信区间,例：设总体 任取8个样本，得平均数为20.93，方差为2.216 另一个总体 任取7个样本，得平均数为21.50，方差为4.397 （1）比较两人加工精度在显著水平0.05下有无显著差异。 （2）其期望之差的置信区间为0.90的置信区间,六. 假设检验,1.2已知,关于的检验（Z 检验）,(1) 提出假设,(2) 选取检验统计量,在 成立的条件下，,(3) 给定的显著性水平 ,查正态分布表得临界值,(4) 计算检验统计量与临界值比较；,(5) 拒绝域,下结论.,(1)

17、提出假设,(2) 选取统计量,(5) 下结论.,否定域,(4) 计算统计量,2已知,关于的假设检验,(3) 给定, 临界值,(1) 提出假设,(2) 选取统计量,(5) 下结论,否定域,(4) 计算统计量,(3) 给定, 临界值,2. 2未知,关于的检验( t 检验),(1) 提出假设,(2) 选统计量,(5) 下结论.,拒绝域,(4) 计算统计量,(3) 临界值,3. 未知,关于2的检验( 2 检验),(1) 提出假设,(2) 选取统计量,(3) 临界值,(4) 计算统计量,(5) 下结论.,拒绝域,( t 检验),拒绝域,(1) 提出假设,(2) 选取统计量,(5) 下结论.,(4) 计算

18、统计量,(3) 临界值,例4 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？,解 先对方差作检验：,因为,所以可认为甲、乙两种玉米的方差没有显著差异 即可认为,解：再对均值作检验：,因为已假设方差相等，故用 T 检验。,所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。,6、检验用 P统计量,一种以汽车保养为主题的杂志声称，其读者群中有70%为男性。一研究机构随机抽样调查了300人，结果发现有60%的男性经常阅读该杂志。在 =0.05显著性水平下，检验该杂志的说法是否属实？,解： H0 ： P = 70% H1 ： P 70% = 0.05 n = 300,检验统计量:,Z=-3.54,某药方声称，其治愈率不小于90%。现用它治疗320例，治愈280例，问在 =0.05显著性水平下，检验该说法是否属实？ 假设H0：P0.9，H1：P0.9,七. 回归分析,1. 建立回归方程,已知回归系数b=8, 则Y关于X的回归方程为,