第二章--误差与不确定度-本章要点：.ppt

1、第二章 误差与不确定度,本章要点：,误差的概念与表示方法,随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法,测量不确定度的概念和评定方法,测量数据处理的方法,本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得 与误差打交道。,2.1 误差的概念与表示方法,误差=测量值-真值,例如，在电压测量中，真实电压5V，测得的电压为5.3V，则,误差= 5.3V - 5V = +0.3V,真值为“表征某量在所处的条件下完善地确定的量值”。,真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。,实际值-实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。,“实际值”“约定真值”。,2.1.1 测量误差,例如：现在是什么

2、时间？ 能准确地报出北京时刻吗？,1.绝对误差：,定义：被测量的测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差。,在实际测量中：,“约定真值”“实际值”= A 表示,修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值， 一般用C表示,2 相对误差：,例： 用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值。,V1 表测量150伏，绝对误差x1=1.5伏，,V2 表测量10伏， 绝对误差x2=0.5伏,从绝对误差来比较 x1 x2 谁准确？,-表示相对误差,相对误差可以有多种形式：,真值相对误差,实际值相对误差,测量值（示值）相对误差,满度（或引用）相对误差,常用,因通常 A0、A、X X 故常用X方便,测量值

3、相对误差x与满度相对误差S%的关系：,测量值x靠近满量程值xm相对误差小,电工仪表将满度相对误差分为七个等级：,例：检定量程为100A的2级电流表，在50A刻度上标准表 读数为49A，问此电流表是否合格？,解： x0=49A x=50A xm=100A,（二级表）,随机误差-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,系统误差-按一定规律变化的误差,粗大误差-显著偏离实际值的误差,2.1.5 测量结果的评价,系统误差 小，准确度高,系统误差和随机误差都较小，称精确度高,x= + + (粗大误差),2.1.6 不确定度,不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念。,在传统误差理论中，总想确定“真值”，

4、而真值却又难以确定， 导致测量结果带有不确定性。,国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的 概念。不确定度愈小，测量结果的质量愈高，愈接近真值，可信 程度愈高。,2.2 随机误差,2.2.1 定义与性质,测量术语：“等精度测量”在相同条件（同一人、同一仪器 同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度 测量。,随机误差定义：在等精度测量下，误差的绝对值和 符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、 或然误差，简称随差。,随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,举例：对一电阻进行n=100次等精度测量,表 2.2 按大小排列的等精度测量结果,随机误差性质

5、：服从正态分布，具有以下4个特性：,对称性绝对值相等的正误差与负 误差出现的次数相等；,单峰性绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多；,有界性绝对值很大的误差出现的 机会极少，不会超出一定的界限；,抵偿性当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零。,2.2.2 随机误差的统计处理,随机误差与随机变量的类同关系,1.数学期望,设x1，x2，xi，为离散型随机变量X的可能取值，相应 概率为p1，p2，pi，其级数和为,若,绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X),在统计学中，,期望与均值是同一概念,算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律 可知，若测量次数无限增加，则算术

6、平均值,必然趋于实际值。,2.方差、标准差,方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。,随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望， 记为D（X），即,例：两批电池的测量数据,测量中的随机误差也用方差,来定量表征：,式中,是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差，,记作,。将剩余误差平方后求和平均，扩大了,离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。,标准差,方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机 误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记 作,应当指出，剩余误差i应包含系统误差和随机误差i，因这里 只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即,正态分布

7、,在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差 的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数 为正态分布,当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值,和标准差，该,正态分布的曲线形状则基本确定。,给出了,时，三条不同标准差的正态分布曲线：,。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据,占优势大，即测量精度高。,本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中,式中k为置信因子，a为所设的区间宽度的一半。,K=1时，,K=2时，,K=3时，,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差,上述正态分布是（n）下求得的，但在实际测量中只能进行

8、 有限次测量,1.有限次测量的算术平均值,对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量 值的算术平均值与被测量的真值最为接近。,设被测量的真值为，其等精度测量值为x1，x2，xn，则 其算术平均值为,由于,的数学期望为，故算术平均值就是真值的无偏估计值。,实际测量中，通常以算术平均值代替真值。,2.有限次测量数据的标准差贝塞尔公式,上述的标准差是在n的条件下导出的，而实际测量只能做到 有限次。当n为有限次时，可以导出这时标准差为,（2.20）,这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故,被称为标,准差的估值，也称实验标准差。,3.平均值的标准差,在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对

9、同一量值分m组 进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值， 由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定 分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差。当需 要更精密时，应该用算术平均值的标准差,来评价。,已知算术平均值,为,在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个 随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导,因,故有,所以,当n为有限次时，用标准差的估值即可，则,（2.21）,结论：（2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n次 测量样本标准差的,分之一。即算术平均值的标准差估值,比样本标准差的估值,比样本标准差的估值,小,倍，,表明了各组平均值

10、再平均以后数值更集中了。这是由于随机误 差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度 越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所 以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。,意义：（2.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组 数据，求得标准差，将其除以,，则相当于得到了多组数据,的算术平均值的标准差。,归纳：有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：,(1)列出测量值的数据表,(2)计算算术平均值,(3)残差,(4)标准差的估计值（实验标准差）,(5)算术平均值标准差的估计值,第一次课到此 作业：9、10、11,例2.6 对某信号源的输出频率进行了8次测量，得测

11、量值,的序列(见表2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。,表2.3 例2.6所用数据,解: (1)平均值（注意,这里采用的运算技巧）,(2)用公式,计算各测量值残差列于表2-3中,(3)标准差估值,(4),的标准偏差,因整数位不变,2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值,解：Ux的算术平均值,标准偏差估值,残差,2.2.4 测量结果的置信度,1.置信度与置信区间,(百分比),(范围),置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可 靠程度的量，一般用百分数表示。,置信区间，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍

12、数表示，,如,给定2个标准差,范围内数据的可信度是百分之几？,条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。,2.正态分布下的置信度,K=1时，,K=2时，,K=3时，,k=3时，即在以3倍标准差3区间内，随机误差出现的概率为 99.73%，而在这个区间外的概率非常小。,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,3. t分布下的置信度 （n20）,在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求 出标准差的估值s(x)，但因测量次数较少（如n20时，测值 不服从正态分布。英国人科萨特（Gosset，但常以 “student” 笔名发表文章）证明了这时服从t分布，也称“学生”氏分布。 t分布

13、的图形如图2.9所示，图形类似于正态分布。但t分布与标 准差无关，与测量次数n关系紧密，从图2.9可以看出，当 n20以后，t分布与正态分布就很接近了。可以用数学证明当 n时，t分布与正态分布完全相同,t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。,例2.8 对某电感进行12次等精度测量，测得的数值（单位mH） 为20.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、 20.49、20.47、20.49、20.51、20.51，若要求在P=95%的 置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？,解：第一步：求出,及,电感的算术平均值,电感的标准差估值,算术平均值标

14、准差估值,第二步： 查附录B：t分布表，由n1=11及P=0.95，查得t=2.20,第三步： 估计电感L的置信区间,，其中,则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为20.48mH，20.51mH。,4. 非正态分布,以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括t分布). 在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。下面 介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。,1)均匀分布,均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的 一种重要分布，如图2.10所示。其特点是在误差范围内，误差 出现的概率各处相同。如仪器中的度盘回差所导致的误差；数 字仪器中的量化误差（在1单位以内不

15、能分辨的误差）；数 据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同 的）等，均为均匀分布误差。,均匀分布的概率密度为,a x b,可以证明，图2.10所示的均匀分布的数学期望为,标准差为,（2.24）,（2.25）,2.3 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。,产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺 陷、电磁干扰及电压跳动等。,粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。,剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下， 首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给 定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差 就认为是粗大误差。具

16、体检验方法常见的有三种：,2.3.1 定义,2.3.2 处理,2.3.3 剔除法则,检验方法常见的有三种：,1 莱特检验法（n200）,3s（x）,2 肖维纳检验法（判则不严）,3 格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）,Gs,在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不 正常。,2.3.4 应用举例,例 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.7中， 试检查数据中有无异常。,表2.7 例 2.12所用数据,(1）莱特检验法 ： 从表中可以看出x8=20.30残差较大，是个 可疑数据，,故可判断x8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得,其余的14个数据的,均小于,

17、，故为正常数据。,（2）肖维纳检验法,以n=15查表 2.5得 k=2 .13,Ks(x)= 2.13 0.033= 0.07,故用肖维纳检验法,也是异常数据，剔除后,再按n=14查表2.5得k=2.10,均小于,，故余下的均为正常数据。,（3）按格拉布斯检验法,取置信概率 Pc=0.99，以 n=15查表2.6得 G=2.70,Gs=2.70.033=0.09,，剔除x8后重新计算判别，,得n=14，pc=0.99下G值为 266,GS 2.66 0.016 0.04,可见余下数据中无异常值。,2.4 系统误差,上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统 误差为前提。,实际上，测量

18、过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统 误差数值还比较大。,对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和 减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。,2.4.1 系统误差的产生原因,系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成， 这些误差因素是可以掌握的。,1.测量装置方面的因素,仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确； 仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和 指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器 附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。,2.环境方面的因素,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度 等按一定规

19、律变化的误差。,3.测量方法的因素,采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。,4.测量人员方面的因素,由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一 方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。,2.4.2 系统误差的检查和判别,系统误差（简称系差）的特征是：,恒定系差-多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变； 变值系差-条件改变时，误差按一定的规律变化。,1.恒定系统误差的检查和处理,恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种,1)改变测量条件,测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差 为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，

20、例如，对 仪表零点的调整。,2)理论分析计算,凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行 定量分析，就可找出系差的大小。（分压比校准）,3)用高档仪器比对、校准,用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知 其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查 和消除恒差。,4)统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差）,下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。,设一系列重复测量值为x1，x2，xn，测量值中含有随机误差i 和恒定 系统误差，设被测量的真值为x0，则有,当n足够多时，,上式表明，当测量次数n足够大时，随机误差对,的影响可忽略

21、，而系统,中。利用修正值 C=可以在进行平均前的每个测量值xi,误差会反映在,中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的,恒定系差，可通过理论计算修正。,2. 变值系差的判定,常用的有以下两种判据：,1)剩余误差观察法,（a）剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；,（b）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则 存在线性系统误差；,（c）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替 重复变化，则存在周期性系统误差；,（d）则同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差， 用剩余误差观察法则发

22、现不了。,2) 累进性系差的判别马利科夫判据,图2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电 池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一 个固定方向变化。,马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：,将n项剩余误差,按顺序排列；,分成前后两半求和，再求其差值D,当n为偶数时,当n为奇数时,若 则说明测量数据存在累进性系差。,（2.41）,3)周期性系差的判别阿贝赫梅特判据,周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性 系差。,如图 2.14（a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在 垂直

23、向上的位置时造成的误差为，当指针在水平位置运动时 逐渐减小至零， 当指针运动到垂直向下位置时，误差为-，如此周而复始，造成的误差如图 2.14（b）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。,阿贝赫梅特判据 具体步骤是：, 把测量数据I 项剩余误差,按测量顺序排列；, 将,两两相乘，然后求其和的绝对值,（2.42）, 用贝塞尔公式求方差, 再与方差相比较，若,（2.43）,则可认为存在周期性系统误差。,存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差， 而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。,第2次课到此 作业：13、14、17、18、19、20,2.

24、4.4 等精度测量结果的数据处理（重点内容）,当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和 粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行 处理。,1)对测量值进行修正，列出测量值xi 的数据表,2)计算算术平均值,3)列出残差,4)按贝塞尔公式计算标准差的估值,5)按莱特准则,，或格拉布斯准则,粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算,，检查和剔除,和s，再判别,直到无粗大误差；,6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；,7)算术平均值标准差的估计值,8)写出最后结果的表达式，即,式中k为置信因子，可查表2.4。,例2.14 对某电压进行16次等精度测量，测量数据xi中已记入修 正值，列于表2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。,解：(1)求出算术平均值,(2)计算,列于表中,并验证,(3)计算标准偏差估值:,(4)按莱特准则判断有无,查表中第5个数据,应将对应,视为粗大误差,加以,剔除。现剩下15个数据。,(5)