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文档简介

1、.矩阵的相似对角化,设A是n阶方阵，可相似对角化。则存在 n阶可逆 矩阵 P，使,令 ，则 。,由 P可逆 线性无关,是 A的特征值,于是 是 n阶方阵 A的 n个线性无关的特 征向量。,反之，设n阶方阵 A有n个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值为 则,（ ）,令 ，因 为 n个线性无关的 n元列向量，故 P是 n阶方阵且逆。,又,故,即 A可对角化。,定理 n阶方阵 A可相似对角化的充分必要条件 是A有 n个线性无关的特征向量。,例 下列矩阵是否可对角化,解 已知矩阵,有特征值 0（二重）和 -2，对应的特征向量分别为,因,故这三个特征向量线性无关。于是A可相似对角化。 以三个特征向量

2、为列构造矩阵,则,例 已知,问 A可否相似对角化？,解 , A有特征值 ，它们对应的特征向 量分别为,因这三个向量线性无关，故 A可相似对角化。以 三个特征向量为列构造矩阵,则,定理 设 是 A的互不相同的特征 值，它们对应的特征向量分别为 ，则 线性无关。,证明 对 m作归纳法：,m =1： 线性无关；,m -1：设 线性无关；,m： 证 线性无关。,令,则,由又得,-得,根据归纳假设 线性无关，故,已知 互不相同，故,由此得,代入得,又 ，故 。于是， 线性无关。,推论 若 n阶方阵有 n个不同的特征值，则该矩阵 可相似对角化。,当方阵有重特征值时，线性无关特征向量的个数 又如何呢？,在前

3、面的例中，对矩阵,其两个特征值 -2与0（二重）对应的特征向量分别,不难发现，,线性无关 线性无关,线性无关,定理 设 是矩阵A的互不相同特征 值， 是A属于 的线性无关的线性无 关的特征向量，则 线性无关。,设 是方阵A的特征值, 设 ，且 则称 是特征值 的代数重数 ，简称为重数；, 设 的维数为 ，则称 是特征值 的几 何重数。,称之为 A 的属于特征值 的特征子空间 。,其中，,定理 设 是方阵A的特征值，则 的几何重数 不大于其代数重数 。,的阶数,线性无关特征向量最大个数,定理 设 是n阶方阵A的全部互异的 特征值， 和 分别是特征值 的代数重数和几何 重数(i =1, 2, m)

4、，则 A可相似对角化的充分必要条 件是,例 判断矩阵,可否对角化。,解,A的特征值为2（代数重数为1）和1（代数重,数为2）。,对 ，考虑齐次方程组 ：,因矩阵I-A的秩为2，故方程组(I-A)X=0的基础解系只 含一个解，由此得特征值1的几何重数为1，小于其代 数重数2，故A不可对角化。,例 已知,问 满足什么条件时，A可对角化？,解 首先,所以，A的特征值为2（代数重数为1）和1（代数重,数为2）。,考虑 A的特征值 1。对方程组 ， 仅当 秩 时，才能使基础解系含 2个解。 即此时特征值1的几何重数等于2。,又,故 。,所以，当 时，A可对角化。,例 设,求 。,解, A有特征值 -2 （代数重数为1）和 2 （代数重数

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