概率论第四章ch4_3.ppt

1、前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度，这对我们了解随机变量有一定的帮助，但对于二维随机变量(X,Y)，我们除了关心 X,Y 的期望和方差外，还希望知道 X,Y 之间的关系程度如何，在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的就是本讲要讨论的协方差与相关系数。,协方差和相关系数,定义：对随机变量X 和Y，若下式存在，则称之为X 和Y 的协方差,记为Cov(X,Y)，即：,协方差定义,而当 方差 D(X)0,D(Y)0 时称下式为相关系数，记作 XY 。,协方差计算公式,证明：将协方差的定义展开并用期望的性质可得

2、。,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),方差与协方差的关系,证明：将方差的定义展开并用期望的性质可得。,例1 已知二维随机变量 X,Y 的联合分布律为:,求X,Y的协方差与相关系数。,解：先求边缘分布律：,X与Y 的协方差为:,下面求X,Y 的方差:,X与Y 的相互关系数为:,例2 已知X,Y的概率密度,求协方差与相关系数。,解：,为求相关系数先求方差：,协方差的性质,(5)若X，Y相互独立，则,相关系数的性质,证: 由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b有,(2) 当X和Y

3、独立时=0.,由于当X和Y 独立时，Cov(X,Y)= 0，故,= 0,定义：若X，Y的相关系数=0，则称X，Y不相关。,显然若X与Y 独立，则X与Y 不相关，但是不相关的X，Y却不一定独立。后面要举例子说明。,我们不证明这个结论。（见教材）,(3) |=1的充要条件是X 和Y 以概率1线性相关即：,|的值越接近于1, Y 与X 的线性相关程度越高;否则越弱。,若0|1则 Y 与X 不是线性相关的，可能是其它关系。,例2 已知X,Y的服从二维正态分布,并且X服从N(1,9)，Y服从N(0,16)，而且X，Y的相关系数为-0.5，令Z=X/3+Y/2，求Z的期望与方差，以及X与Z的相关系数。课本

4、P111,解：,X与Z的协方差为：,例题：若二维随机变量(X，Y)服从正态分布， 试证X、Y 相互独立的充分必要条件是=0。 。,证:,边缘分布密度为：,随机变量X,Y的相关系数为：,因此二维正态型X，Y独立等价于不相关。,若(X,Y)具有二维正态分布 N(0,0,1,1,), 以下画出 取几个不同值时(X,Y)的密度函数曲面三维图象:,=0值时(X,Y)的密度函数图,=0.2值时(X,Y)的密度函数图,=0.5值时(X,Y)的密度函数图,=0.8值时(X,Y)的密度函数图,=0.9时(X,Y)的密度函数图,作图代码：,function bbb mu1=0;mu2=0; sigma1=1;si

5、gma2=1; rou=0.9; x,y=meshgrid(-4:0.1:4); z=f(x,y,mu1,mu2,sigma1,sigma2,rou); mesh(x,y,z); function z=f(x,y,mu1,mu2,sigma1,sigma2,rou) z=zeros(size(x); z1=(x-mu1).2/sigma12-2*rou*(x-mu1).*(y-mu2)/(sigma1*sigma2)+(y-mu2).2/sigma22; z2=-1/(2*(1-rou2)*(z1); z=1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rou2)*exp(z2);,

6、例题：设二维随机变量 (X,Y)服从单位园上的均匀分布，则X，Y不相关也不独立。,解：X，Y的概率密度函数为：,同理：,所以X，Y不独立。,而且：,所以X，Y不相关。,矩的概念,矩是更一般的数字特征，本节我们将给出它们的定义，在数理统计中我们将会用到。,定义：设 X,Y是两个随机变量,(1)若对自然数 k=1,2,随机变量 Xk数学期望存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩即：,(2)若对自然数 k=1,2,随机变量 (X-E(X)k数学期望存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩即：,数学期望是一阶原点矩。,方差是二阶中心矩,矩的概念,(3)若对自然数 l,k=1,2, 若下面数学期望存在，则称它为随机变量X的k+l阶混合原点矩即：,(4)若对自然数 l,k=1,2, 若下面数学期望存在，则称它为随机变量X的k+l阶混合中心矩即：,协方差是二阶混合中心矩。,例题1：已知随机变量X服从指数分布，求它的k阶矩。,解：,函数定义为：,例题2：已知随机变量X服从参数为，2的正态分布，求它的一阶与二阶矩。,解：,协方差矩阵的概念,多个随机变量之间的协方差通常有多个，我们可