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文档简介

1、常微分方程数值解,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,数值解,(10-1),一、初值问题的数值解,求解(10-1)最基本的方法是单

2、步法,单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的,典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:,例:求解常微分方程初值问题,由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.,二、构造初值问题数值方法的基本途径,以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径,1. 数值微分法,用差商代替微商,2. Taylor展开法,忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式,3. 数值积分法区间,将 区间 积分,隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit

3、*/ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,三、Euler法的改进及梯形公式,梯形公式 /* trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,中点欧拉公式 /* midpoint formula */,改进欧拉法 /* modified Eulers method */,注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,第二节 高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Ku

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