物理实验误差理论.ppt

1、物理实验误差理论,一、测量与误差 二、随机误差的高斯分布与标准误差 三、近真值算术平均值 四、标准误差的估算标准偏差 五、间接测量值误差的估算误差传递公式,一、测量与误差,1.测量：测量是将代测物与一个作为标准的同类量进行比较，得出它们之间的倍数关系。 (1)选来作为标准的同类量称为单位。倍数称为测量数值。 测量值测量数值 X 单位 (2)以国际单位制（SI制）为国家法定计量单位，以米、千克、安培、开尔文、摩尔和坎德拉作为基本单位，其他量都由以上七个单位导出，称为国家单位制的导出单位。,国际单位制（SI）基本单位,主要物理量的SI制单位名称及代号,(3)测量可分为两类： 一类是直接测量，如用尺

2、量长度，以表计时间，天平称质量等； 另一类是间接测量，是根据直接测量得到的数据，根据一定的公式，通过运算，得出所需要的结果。例如：,测量方式的不同引起误差研究方式的不同。,2.误差：测量值与真值的差值,误差的种类：按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差三类。 (1)系统误差：有规律性的，测量结果都大于或者都小于真值。在测量条件改变时，也按一定规律在变化。 来源：测量仪器、实验理论和实验方法、实验者生理或心理特点。 系统误差的消除或减小是实验技能问题，采取各种措施将它降低到最小程度。,(2)随机误差，又称偶然误差：在相同条件下，对同一物理量进行多次重复测量，即使系统误差减小到最小

3、程度之后，测量值仍然会出现一些难以预料和无法控制的起伏，而且测量值误差的绝对值和符号在随机变化。 但是，如果测量次数足够多的话，就会发现随机误差遵循一定的统计规律，可用概率理论估算。 (3)过失误差：测量中出现一些错误，如读数、记录、操作或者估算错误等，应尽量避免。,3. 正确度、精密度和准确度 正确度：测量值与真值的接近程度，反映系统误差的大小。 精密度：重复测量所得结果相互接近的程度，反映随机误差的大小。精密度高，说明重复性好，各个测量误差的分布密集，随机误差小。 准确度：综合评定测量结果重复性和接近真值的程度，反映随机误差和系统误差的综合效果。 误差计算主要是估算随机误差，泛称为精度。,

4、4. 绝对误差、相对误差和百分差,(1)绝对误差:,表示测量结果与真值之间的差值以一定的概率出现的范围，即真值以一定的概率出现在,(2)相对误差:,表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，一般用百分比表示。,(3)百分差:,绝对误差、相对误差和百分差通常只取12个数字来表示。,二、随机误差的高斯分布与标准误差,1.高斯分布的特征与数学表达,随机误差的正态分布曲线,服从高斯分布规律的随机误差具有以下特征： (1)对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。 (2)抵偿性：当测量次数非常多时，误差的代数和趋向于零。,概率密度分布函数的数学表达：,是一个与实验条件有关的常数，

5、称为标准误差，其值为 ：,三、近真值算术平均值,误差理论可以证明，如果对一个物理量测量了相当多次，算术平均值就是接近真值的最佳值。,第四章 标准误差的估算标准偏差,1.任意一次测量值的标准偏差,2.平均值的标准偏差,一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个部分，计算误差是实验的一个重要环节。标准误差是误差的重要形式之一。 它又可分为两种： 任意一次测量值的标准偏差 平均值的标准偏差。,某一次测量xi 的误差 i是指测量值 xi与真值 T的差值。 但在实验测量中，有些测量对象的真值是未知的，误差无法计算。 因而，按照式（） ，标准误差也无从估算。,1.任意一次测量值的标准偏差,根据算术平均值是

6、近似值的结论，在实际估算时可以采用算术平均值代替真值T，用各次测量值与算术平均值的差值 vi=xi- (16)来估算各次的误差，差值vi 称为残差。 在计算标准误差时，可以用残差来进行计算。,误差理论可以证明，当测量次数 n有限，用残差来估算标准误差时，其计算式为x (17),x称之为任意一次测量值的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误差的一个估计值。,其代表的物理意义是，如果多次测量的随机误差遵从高斯分布，那么，任意一次测量，测量值误差落在-x 到 +x区域之间的可能性为68.3%。或者说，它表示这组数据的误差有68.3%的概率出现在-x 到+x 的区间内。,2.平均值的标准偏差,误差理论

7、证明，平均值的标准偏差为,(18),(18),上式说明，平均值的标准偏差是n次测量中任意一次测量值标准偏差的 倍。 小于x ，这个结果的合理性是显而易 见的。因为算术平均值是测量结果的最佳值，它比任意一次测量值xi 更接近真值，误差要小。 的物理意义是，在多次测量的随机误差遵从高斯分布的条件下，真值处于 区间内的概率是68.3%。,值得注意的是，用式（17）和式（18）来估算随机误差，理论上都要求测量次数相当多。但在我们目前的实验中，往往受到教学时间的限制，重复测量的次数不可能很多，所以，用这两个式子估算出来的随机误差带有相当程度的近似性。另外，在测量次数较少时（n10）， 随着测量次数n 的

8、增加而明显地减小，以后，随着测量次数n的继续增加， 的减小愈来愈不明显而逐渐趋近于恒定值。由此可见，过多地增加测量次数，其价值并不太大。根据我们的实际情况，如果需要多次重复测量，一般测量次数取510次为宜。,有时会遇到测量对象本身不均匀的情况。 例如，测量一根钢丝的直径。由于它各处的直径略有微小差异，以致直径的真值各处不完全一致，所测得的各处测量值取其平均值只是反映了钢丝直径的平均大小。多次测量不可能减小钢丝直径的不均匀性，所以，计算平均值的误差实属没有必要。而计算得到的任意一次直径测量值的标准偏差则反映出钢丝直径的不均匀程度。,第五章 间接测量值误差的估算误差传递公式,1.误差的一般传递公式

9、 2.标准误差的传递公式 间接测量值不可避免地有误差存在，显然，由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而得到的间接测量值也必然有误差存在。 怎样来估算间接测量值的误差，实质上是要解决一个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公式。这种公式称之为误差传递公式。 下面分别介绍两种间接测量值误差的估算方法。,误差的一般传递公式,设待测量N是n个独立的直接测量值A，B，C，H的函数，即 N=f（A，B，C，H）（19） 若各直接测量值的绝对误差分别为A，B，C，H，则间接测量值N的绝对误差为N。,下面介绍具体算法。 将式（19）求全微分，得,由于A，B，C，H分别相对于A，B，C，H是一个很小的

10、量，将式（110）中的dA,dB,dC, ,dH用A，B，C，H代替，则,由于上式右端各项分误差的符号正负不定，为谨慎起见，作最不利情况考虑，认为各项分误差将累加，因此，将上式右端各项分别取绝对值相加，即,2.标准误差的传递公式,若各个独立的直接测量值的绝对误差分别为标准偏差A，B，C，H 等，则间接测量值N的误差估算需要用误差的方和根合成，即绝对误差为,几种常用的标准公式列于表11中，供计算误差使用。,从表11中可见,1、对于和或差的函数关系，函数N的绝对误差都是直接测量值标准偏差的“方和根”。所以，建议先计算出N的绝对误差N ,然后按照公式EN= N /N 计算N的相对误差EN。 2、对于

11、乘或除的函数关系，函数N的相对误差EN都是各直接测量值相对误差的“方和根”。建议先计算出N的相对误差EN,再按照公式N=NEN 计算绝对误差N。 误差传递公式除了可以用来估算间接测量值N的误差以外，还有一个重要的功能，就是可以用它来分析各直接测量值的误差对最后结果误差的影响大小。对于那写些影响大的直接测量值，可以预先考虑措施，以减小它们的影响，为合理选用仪器和实验方法提供依据。,第三章 数据处理,一、不确定度与测量结果表达 二、有效数字、简算方法与数字取舍规则 三、数据处理方法,一、不确定度与测量结果表达,1：不确定度,测量结果的标准形式 X=xU（单位） 其中x为测量值，或多次测量的算术平均

12、值；U为不确定度 例如：基本电荷 e=(1.602177330.00000049)10-19c,不确定度:是指可疑、不能肯定或测不准的意思。不确定度是测量结果携带的一个必要参数，以表征待测量的分散性、准确性和可靠程度。,2：不确定度的种类,绝对不确定度： uX= s u (单位) s就是标准误差； u =仪 /c,相对不确定度： X/X= （绝对不确定度/测量值）100%,3、直接测量量的结果表示,X=X佳UX（单位） 它表示被测量的真值具有一定的概率落在（X- U，X+ U）区间内 X佳多次测量=平均值；单次=测量值,4、间接测量量的结果表示,X=XU（单位） X各直接量的X佳按有效数字运算

13、规则算出 U各直接量的U 和X佳代入不确定度计算式算出,5、不确定度的传递,若=F（A，B，C）；UA，UB，UC 则不确定度的计算式 U2=（F/A）2 UA 2+（F/B）2 UB 2+（F/C）2 UC 2（常用于和差形式） 相对不确定度的计算式 （ / ）2 =（lnF/A）2 UA 2+（lnF/B）2 UB 2+（lnF/C）2 UC 2（常用于积商形式）,6、常用不确定度传递公式,X=AB X=AB 或A/B X=AaBb/Cc,U= （UA2+ UB2） U/X= （UA /A）2 +（UB / B ）21/2 U/X= （aUA /A）2 +（bUB / B ）2+ （cUC

14、 /C）2 1/2,二、有效数字、简算方法与数字取舍规则,1.有效数字的概念、性质和位数 2.简算方法与数字取舍规则,1.有效数字的概念、性质和位数,有效数字的定义：数值中的可靠数字与一位可疑数字统称为有效数字。 可靠数字是从测量工具上的刻度准确读出的。 可疑数字是在测量工具的最小刻度之间估计读出的。 若正好与某刻度对齐，则在估读位上记为“0”。,有效数字的性质：与单位无关。 有效数字的位数：从第一个不是零的数字开始，到最后一位数字，有几个数字就称为有几位有效数字。 非零数字中间或数据末尾的“0”是有效数字。 例如：0.2050m有2、0、5、0总共4位有效数字。2前面的0只表示小数点的位置，

15、不是有效数字。,单位换算过程中有效数字的位数不变。 为避免出错，建议采用科学计数法作为标准形式，即用10的方幂来表示其数量级，前面为有效数字，小数点前取一位数字。 如果进行单位换算，则只需将10的方幂改变。 例如：,不确定度有效数字位数的取法：不确定度的首位数对应结果中有效数字的末位数。 例如：,2.简算方法与数字取舍规则,（1）加减运算： 几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先出现的可疑数字对齐。 例如：,简化为,数字取舍规则：四舍六入五凑偶 1.欲舍去数字的最高位为4或4以下的数，则“舍去”；若为6或6以上的数，则“入”。 2.被舍去数字的最高位为5时，若前一位数为奇数，则“入”

16、；若前一位数为偶数，则“舍”。 这样使得“入”和“舍”的数字服从概率数理统计规律。 举例如下： 8.08618.09 8.08458.08 8.08508.08 8.07548.08,（2）乘除运算：计算结果的有效数字位数与各数值中有效数字位数最少的一个相同。,（3）乘方运算：结果的有效位数与其底数相同。 （4）对数、三角函数和n次方运算：先计算出不确定度，结果最后一位数字与不确定度对齐。,三、数据处理方法,列表法 作图法 逐差法 直线拟合法（最小二乘法）曲线直线化,1、列表法,注意以下几点： 各栏目都要注明名称和单位。 栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。 反

17、映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。,2、作图法(作图规则),坐标分度：能反映测量值的有效位数 坐标轴：物理量名称、符号、单位 实验点：用特殊符号（、）标出并区分不同组的实验点 连图线：实验点分布均匀，曲线光滑 曲线名称及说明,作图示例,三、逐差法,在2个变量间存在多项式函数关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后2组，将对应项分别相减,然后再求平均值。下面举例说明。,在拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和加砝码质量m之间满足线性关系m=kx，式中k为比例常数，现要求计算k的数值，见表,如果用逐项相减，然后再计算每增加0.500kg 砝码标尺读数变化的平均值 ，即,=,=,于是比例系数,这样中间测量值 x2，x3， x9 ， 全部未用，仅用到了始末2次测量值x1 和x10 ，它与一次增加9个砝码的单次测量等价。若改用多项间隔逐差，即将上述数据分成后组(x10 ， x9， x8， x7 ， x6 )和前组(x5 ， x4 ， x3 ， x2 ， x1 )，然后对应项相减求平均值，即,=,