微积分基础知识.ppt

1、1,第0章 基本知识,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.,恩格斯,2,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,二、主要内容,多元微积分,3,三、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用数学能力。,2. 学数学最好

2、的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,4,3、极限的思维方法 1） 计算圆的周长,5,6,3)计算曲边梯形面积,曲边梯形面积为,7,4)无穷级数,8,具备的数学素质： 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力,9,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的对象的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,P（x)表示元素具有性质,第0章 基本知识,10,2.邻

3、域:,11,二、函数,12,函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数,基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.,13,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,14,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,15,(3) 狄利克雷函数,16,(4) 取最值函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则,用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,17,复合函数,定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域 为(X)=uu= (x), xX

4、U，则称函数y=f(x)为 x的复合函数。,代入法,18,复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,19,注:,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,复合函数,代入法,20,初等函数,定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。,例：,不是初等函数,为初等函数,不是初等函数,为初等函数,可表为,故为初等函数.,21,双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,双曲函数,22

5、,奇函数,有界函数,23,双曲函数常用公式,24,2.反双曲函数,奇函数,25,26,奇函数,27,三. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,A为上界，B为下界。,(2) 单调性,为有界函数.,当,时,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,为 I 上的,单调减函数 .,28,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,29,例1 判断函数 的奇偶性.,解：, f(x)是奇函数.,例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与

6、一个偶函数的和。,证明：设,显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而,故命题的证.,30,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,31,四. 反函数,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,32,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,

7、33,例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。,证明：,反函数是奇函数。,例2,解: 当x0时,y1,当x0时,y1,x=y-1,34,几何解释:,数列的极限(P6): 数列xn当n无限变大时， xn能无限制的接近唯一确定常数a,35,n=5,n=7,n=11,n=20,36,如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）,37,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则

8、当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,38,两边夹准则,证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,39,两边夹法则.若,则：,40,例. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,41,例(P10) 证明 若X2k-1a,X2ka(k), 则数列Xn收敛于a。 证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1) K2当kK2时X2k-1 落在a-,a+即满足|2k-1