Jordan标准型λ-矩阵.ppt

1、第2章：Jordan标准形介绍，第2章：Jordan标准形介绍，问题：对于线性空间中的线性变换T，找到一组基1，2，n和矩阵J，从而使T33601，2，n J的矩阵J尽可能简单。矩阵j的结构对任何变换都是可行的：第一选择是对角线性变换的对角化。建立了J一般结构的约当标准型理论。Jordan方法及其应用方法：通过矩阵相似化简研究问题。Jordan方法侧重于：2.1线性变换的对角表示，背景：T(1 2 n)=(1 2 n)。首先，变换T的特征值和特征向量的定义(p35，定义2.1)解分析：(p35，定理2.1)，(12 n)线性独立于ti L i是一个不变子空间，而(2.1)称为T的特征值，也称为

2、属于(或对应于)特征值的T的特征向量。2.1设T是数域f中线性空间v的线性变换，如果f和非零向量v存在，设v是数域f中的n维线性空间，它是v的一组基，在这组基下线性变换T的矩阵是a。如果它是T的特征值和相应的特征向量，将其代入(2.1)，得到特征向量的坐标x满足齐次线性方程，因为齐次线性方程(2.4)有非零解。方程组(2.4)有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零，即设A是数域F中的一个N阶矩阵，它是一个文字，这个矩阵称为A的特征矩阵，它的行列式称为A的特征多项式.该方程被称为a的特征方程，其根被称为a的特征根(或特征值)。通过将a的特征值代入齐次线性方程(2.4)而获得的非零解x被称为对

3、应于a的特征向量。作为特征值方程根的特征值的重数被称为代数重数。在一组v的基下，线性变换T的特征值与其矩阵的特征值相同。特征向量呢？a的特征值是t的特征值，a的特征向量是t的特征向量的坐标，例1(p37，例2.1) 3。特征向量的空间性质：特征向量的性质：(p36，定理2.2) Vi是不变子空间i j，那么ViVi=0。如果I是ki的多个特征值，那么1dimViki推断如果I是单个特征值，那么DimVi=1 V1 V2 Vs=V1V2V V1V2V Vn(F)，让它是线性变换t的任何特征值，它对应于特征值的特征子空间。那么让它是矩阵的任何特征值，让它是几何重数。在定理2.1中，它是F，那么它是

4、A的所有K阶主子类型的和，特别是定理2.2，让F是A的特征值，然后，子公式，顺序主子公式，例1。让矩阵A在控制论中称为伴随矩阵或伴随矩阵，并求出A的特征多项式，求解：条记录，根据第一行展开di，是的，它是由上述公式通过递归得到的，定理2.3如果n阶矩阵A和B相似，(1) A和B具有相同的特征多项式；(2)甲和乙具有相同的特征值；(3) tr(A)=tr(B)。定理2.4:如果线性变换T(或矩阵A)的特征值彼此不同，并且是对应的特征向量，那么线性是不相关的。是的特征值。线性变换也得出了类似的结论。2。线性变换矩阵对角化的充要条件。T可以用n个线性独立的特征向量对角化T。DimVi=n dimVi

5、=ki，定理2。4(p39)，T可以对角化，T的变换矩阵a可以对角化。例2知道1，2和3是空间V3(F)的基，T是一个线性变换，定义如下，T(1 )=1 T(2 )=2 2 T(3 )=1 t 2 2 3。讨论：t的值是多少，t用对角矩阵表示。例3证明了幂等变换(T2=T)由对角矩阵表示。2.2约旦矩阵介绍，目标：开发一个矩阵结构，所有的方阵都可以类似于-约旦矩阵。1.约当矩阵的约当块形式(p40，定义2.3):行列式：约当块矩阵的例子：值矩阵的顺序，例子1下列哪些矩阵是约当块？形式：乔丹矩阵，例如，元素乔丹矩阵的结构是上三角矩阵，对角矩阵是乔丹矩阵，2乔丹唯一性：约旦子块集是唯一的。类似于B

6、JA和JB。第二，求方阵A的约当标准型的方法，目标：求可逆矩阵P和约当矩阵JA，使AP=PJA。分析方法：根据定理2.5逆向分析矩阵JA和P的组成。方法和步骤如下：矩阵a和JA的特征值相等，子矩阵Pi和Ji分开。在Jordan块上，有Jordan链、y2、ynj、特征向量和广义特征向量。方法步骤如下：主对角元素为I的约当矩阵J(i)的阶由特征值I的代数重数决定.J(i)中约当块的数量由对应于特征值I的线性独立特征向量的数量确定，约当块的顺序由特征向量获得的约当链的长度确定。链中的向量被组合形成可逆矩阵，而乔丹块形成JA。实施例1 (p44，实施例5)、实施例2 (p45，实施例6)、实施例3将

7、矩阵A转化为乔丹矩阵。例4 (p46，例7)，3，-矩阵及其在偏置下的标准形式，3.1-矩阵的基本概念，3.2-矩阵的初等变换和等价，3.3-矩阵在等价下的标准形式，3.1-矩阵的基本概念，定义3.1是数域f中的多项式，一个有元素的矩阵称为多项式矩阵或-矩阵，让f，如果是这样，假设A()等于B()，并将其记录为A()=B()。-矩阵的运算：-矩阵行列式的性质。通过使用行列式，可以定义子公式和代数余因子。n阶矩阵的减法、数量乘法、乘法、换位、加法、行列式，对于n阶矩阵A()、B()，有| A()、B()|=|A()| B()|，定义3.2中的f，如果A()中有r阶的子类型，则在3.3中定义f。如

8、果有一个N阶矩阵B()，那么矩阵A()是可逆的，B()是矩阵A()的逆。3.2-矩阵的初等变换和偏移，定义3.4以下三种变换称为-矩阵的初等变换：(1)-两行(列)矩阵交换位置；(2)-矩阵的一行(列)乘以非零常数k；(3)-将矩阵的一行(列)乘以另一行(列)，其中是多项式。相应的三类矩阵的初等矩阵P (i，j)，P(i (k)，P(i，j()可以通过将上述三种初等变换应用于单位矩阵而得到，即初等矩阵是可逆的，初等矩阵的行列式都是非零常数，它们是初等变换的表示。I，j代表第I，j行(列), i(k)表示将第I行(列)乘以非零常数k；意为将行数j乘以数I；定义3.5让f，如果a()通过有限次的初

9、等变换转化为b()，那么-矩阵a()与b()是等价的(偏移)，它被写成。如果在定理3.2中设置了F，那么当且仅当存在M阶初等矩阵和N阶初等矩阵时，a()和B()的价格相等。请注意：两个等秩的矩阵可能不相等，两个相等矩阵的行列式只相差一个非零常数。定理3.3设置了F，它等价于，3.3偏置下矩阵的标准形式，定理3.3中的“对角形式”矩阵称为等价下矩阵的标准形式或史密斯标准形式。它定义了3.6-矩阵f的史密斯标准型的“主对角线”上的非零元素所调用的不变因子。求下列矩阵的偏移标准形和不变因子。一般来说，4.3矩阵有行列式因子和初等因子，4.1定义为F，对于正整数，所有K阶子公式的最大公因式称为K阶行列

10、式因子，其表达式为。行列式因子是第一系数为1的多项式，定理4.1的-矩阵具有相同的秩和相同的每阶行列式因子。根据定理4.1，任意矩阵的秩和行列式因子与其史密斯标准型的秩和行列式因子相同。经过初等变换后，任意矩阵的秩和行列式因子保持不变。证明了它包含行I和行J，不包含行I，但不包含行J。设-矩阵的史密斯标准型为，其中它是第一系数为1的多项式。每一阶的行列式因子都是很容易得到的，所以有，并得出以下结论：所有其他的I阶子型都是0，I=1，2，推理4.1，定理4.2矩阵的史密斯标准型是唯一的。决定因素和不变因素都是唯一的。定理4.3集合f，那么等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不

11、变因子。决定因素和不变因素是完全相互决定的。定理4.4集合f，那么可逆性的充要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。证明了如果在定理4.5中设置了F，那么它等价于如果有两个可逆矩阵F和F，并且在下面引入了矩阵的初等因子。设-矩阵的不变因子为，并把它们分解成复数域中第一个因子的幂的乘积：其中是不同的复数和非负整数。定义4.2在不变因子的分解公式中，指数大于零的所有因子称为-矩阵的初等因子。因为，那么，定理4.6设置了f，那么它等价于当且仅当它们具有相同的秩和相同的初等因子。秩和基本因子以及不变因子可以彼此唯一地确定。等级决定不变因子的数量。在由同一主因子的幂构成的主因子中，幂的最高程度在中间，

12、第二高的在中间，依此类推。-矩阵的秩不小于同一主因子在其主因子中的最大幂次数。示例1。定理4.7证明了如果-矩阵是定理4.7中的块对角矩阵，那么和的所有初等因子都是的初等因子。证明了如果它是块对角矩阵，那么和的所有初等因子都是的初等因子。证明了和的所有初等因子都是的初等因子。定理4.7如果矩阵是块对角矩阵，那么和的所有初等因子都是的初等因子。定理4.7证明了如果矩阵是块对角矩阵，那么和的所有初等因子都是的初等因子。证明了除了和的基本因子外，没有其他的基本因子。定理4.7集-矩阵，定理4.8集-矩阵等价于块对角矩阵，那么所有的初等因子都是的初等因子。2.3极小多项式，并讨论了N阶矩阵多项式的相关

13、问题：矩阵多项式(着重于计算)，矩阵的零化多项式(Cayley定理)，极小多项式的Jordan标准型的应用，相似不变性的Jordan方法，第一，矩阵多项式的定义，2。性质(定理2.7)ax=0 x g(A)x=g(0)x p-1 AP=b p-1g(A)p=g(b)，3矩阵多项式g(A)的计算方法：mr的结构特征，g(J):由第一行的元素生成第二，矩阵的零化多项式，问题：AFnn，A0，是否有非零多项式g(A)，使g(A )=0？归零多项式(第52页)如果g(A)=0，那么g(A)称为矩阵A的归零多项式。要点：一旦矩阵A有了归零多项式，就有无穷多的归零多项式。g()=0。存在的问题。凯莱-汉密

14、尔顿定理(第52页，定理2.7): afnn，f ()=det(IA)，然后f (A )=0。Cayley定理的应用实例：将Ak (kn)化为不超过n-1次的多项式。F(0) 0，A的逆矩阵可用多项式表示。对于线性变换T，f (T)=0，即f (T)是零变换。3.最小多项式，1定义(第54页，2)。5)毫安()是最小多项式，毫安(A)=0毫安()在归零多项式中次数最低。毫安()的最高分项系数为1。MA()可整除任何零多项式，结构为2 mA():让f()=IA=，定理2.8: ma ()=，定理2.9: ma ()=是约当块的指数，对应于I，P.54，3变换的对角矩阵表示的条件定理2.10:线性变换T可对角化的充要条件是T的最小多项式是第一因子的乘积。例1(第56页，第10节)例2，让A R44