全国高考数学试题及 江苏卷

1、2016 年江苏数学高考试题 数学试题 参考公式 圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中 S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V圆锥 1 Sh，其中 S 是圆锥的底面积，h 为高. 3 一、填空题：本大题共填空题：本大题共 1414 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 7070 分分. .请把答案写在答题卡相应位置上。请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合A 1,2,3,6, B x| 2 x 3, 则AI B=_. 2.复数z (1 2i)(3 i),其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. x2y2 3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1的焦距是_.

2、 73 4.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_. 5.函数 y= 3-2x- x2的定义域是 . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是. 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是. 8.已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1+a22=-3，S5=10，则 a9的值是. 9.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是. bx2y2 10.如图， F 是椭圆 2 2 1(ab0)的右焦点，

3、在平面直角坐标系 xOy 中，直线y 2ab 与椭圆交于 B，C 两点，且BFC 90o,则该椭圆的离心率是. (第 10 题) xa,1 x 0, 11.设 f（x）是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上，f (x) 2 x ,0 x 1, 5 其中aR R.若f ( ) f ( )，则 f（5a）的值是. 5 2 9 2 x2y 4 0 12. 已知实数 x，y 满足2x y 2 0，则 x2+y2的取值范围是 . 3x y 3 0 uuu r uuu r 13.如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BCCA 4， uuu r uu

4、u ruuu r uuu r BFCF 1，则BECE的值是. 14.在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是. 二、解答题二、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. .） 15.（本小题满分 14 分） 在ABC中，AC=6，cosB = （1）求 AB 的长； 4 ，C =. 54 （2）求cos(A- )的值. 6 16.(本小题满分 14 分) 如图，在直

5、三棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点F 在侧棱 B1B 上，且B 1D A1F ，A 1C1 A 1B1. 求证： （1）直线 DE平面 A1C1F； （2）平面 B1DE平面 A1C1F. 17.（本小题满分 14 分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A 1B1C1D1 ，下 部分的形状是正四棱柱ABCD A 1B1C1D1 (如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱 锥的高PO 1 的四倍. (1) 若AB 6 m,PO1 2 m,则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当PO 1 为多少

6、时，仓库的容积最大？ 18.18. （本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x y 12x14y 60 0及 其上一点 A(2，4) (1) 设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； (2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程； (3) 设点 T （t,0） 满足： 存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得TATP TQ,求实数 t 的取值范围。 22 uu ruuruuu r 19. （本小题满分 16 分） 已

7、知函数f (x) a b (a 0,b 0,a 1,b 1). （1）设 a=2,b= xx 1 . 2 求方程 f (x)=2 的根; 若对任意xR,不等式 f (2x) mf(x)6恒成立，求实数 m 的最大值； 1，函数gx fx2有且只有 1 个零点，求 ab 的值. （2）若0 a 1,b 20.（本小题满分 16 分） 100.对数列 a n nN 记U 1,2,， 12 *和U 的子 集 k T，若T ,定义 S T 0 ;若 T t 1,t2 ,，t k ，定义S T a t a t +a t .例如：T= 1,3,66时，S T a 1 a 3 +a 66 . 现设an nN

8、 *是公比为 3 的等比数列，且当T=2,4时，S T =30. (1) 求数列an的通项公式； k，求证：S T a k1； (2) 对任意正整数k1k 100，若T 1,2,， （3）设C U,D U,SC S D ,求证：SC S CI D 2S D . 数学（附加题） 21. .【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两小题四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 ，并在相应的答题区域内 作答作答若多做，则按作答的前两小题评分若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤

9、 A A 【选修 41 几何证明选讲】 （本小题满分 10 分） 如图，在 ABC 中，ABC=90，BDAC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：EDC= ABD. B.【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分） 1 1 2 1 1 2，求矩阵 AB.已知矩阵A , 矩阵 B 的逆矩阵B = 0 2 0 2 C.C.【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 1x 1 t 2 （t 为参数）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为，椭 y 3 t 2 x cos, （为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，圆 C 的参数方程为 y

10、 2sin 求线段 AB 的长. D.设 a0，|x-1| 【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第2323 题，每题题，每题1010 分，共计分，共计2020 分分. . 请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y2=2px(p0). aa ，|y-2|，求证：|2x+y-4|a. 33 （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线

11、l 对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 的中点坐标为（2-p，-p） ； 求 p 的取值范围. 23.（本小题满分 10 分） （1）求7C64C7的值； （2）设 m，nN N *，nm，求证： （m+1）Cm+（m+2）Cm+1+（m+3）Cm+2+nCn1+（n+1）Cn=（m+1）Cn+2. mmmmmm+2 34 参考答案参考答案 1. 1,2 2.5 3. 2 10 4.0.1 5. 3,1 5 . 6 6.9 7. 8.20. 9.7. 6 3 2 11. 5 4 12. ,13 5 7 13. 8 10. 14.8. 434 15.解（1）因为cosB ,0 B ,

12、所以sinB 1cos2B 1( )2, 555 AC sinCACAB ，所以AB sin BsinBsinC 6 3 5 2 2 5 2.由正弦定理知 （2）在三角形 ABC 中A B C ，所以A(B C). 于是cosA cos(BC) cos(BsinBsin, 444 4342322 又cosB ,sin B ,，故cos A 52521055 7 2 因为0 A，所以sin A 1cos2A 10 237 217 2 6 因此cos(A) cos Acossin Asin . 66610210220 ) cosBcos 16.证明： （1）在直三棱柱ABC A 1B1C1 中，A

13、C / /AC 11 在三角形 ABC 中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点. 所以DE / /AC，于是DE / /AC 11 又因为 DE平面AC 11F,AC11 平面AC 11F 所以直线 DE/平面AC 11F （2）在直三棱柱ABC A 1B1C1 中，AA 1 平面A 1B1C1 因为AC 1B1C1 ，所以AA 11 平面A 1 A 1C1 又因为AC 11 A 1B1，AA1 平面ABB 1 A 1,A1B1 平面ABB 1 A 1,A1B1 I AA 1 A 1 所以AC 11 平面ABB 1 A 1 因为B 1D 平面ABB 1 A 1 ，所以AC 11 B 1D

14、 又因为B 1D A1F，AC11 平面A 1 C 1F,A1F 平面A1 C 1F,AC11 I A 1F A1 所以B 1D 平面A1 C 1F 因为直线B 1D 平面B1DE ，所以平面B 1DE 平面AC11F. 17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想 象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解： （1）由 PO1=2 知 OO1=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6， 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积V 柱 = A 1B1 2PO 1 1 3 1 26 2 24m3; 3 正四棱柱 ABCD-A

15、1B1C1D1的体积V 柱 =AB2OO 1 628 288 m3. 所以仓库的容积 V=V 锥+V柱=24+288=312（m3）. (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0h6,OO1=4h.连结 O1B1. 222 因为在RTPO 1B1 中，OB 1 PO 1 PB 1 ， 2a 2h 36 所以，即a2 236h2. 2 2 于是仓库的容积V V 锥 V 柱 a24h 从而V 1 2 1326 a h a2h 36hh3,0 h 6， 333 26 363h2 2612h2. 3 令V 0，得h 2 3或h 2 3（舍）. 当0 h 2 3时，V 0，V 是单调增函数；

16、 当2 3 h 6时，V 0，V 是单调减函数. 故h 2 3时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当PO 1 2 3 时，仓库的容积最大. 18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平 面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分 16 分. 解：圆 M 的标准方程为x6y 7 25，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,. （1）由圆心在直线 x=6 上，可设N6,y0.因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以0 y0 7，于是圆 N 的半径为y0，从而7 y0 5 y0，解得y01. 因此，圆 N 的标准方程为x6y11. (

17、2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为 22 22 40 2. 20 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 d 267m 5 m5 5 . 因为BC OA2242 2 5, BC 而MC d , 2 22 2 m5 所以25 5 2 5，解得 m=5 或 m=-15. 故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. (3)设Px 1, y1 ,Qx 2 ,y 2 . uu ruuruuu r x 2 x 1 2t 因为A2,4,Tt,0,TATP TQ,所以 y y 4 21 因为点 Q 在圆 M 上，所以x 2

18、6y 2 7 25. 将代入，得x 1 t 4y 1 3 25. 于是点Px 1,y1 既在圆 M 上，又在圆 x t 4 y 3 25上， 从而圆x6y 7 25与圆 x t 4 y 3 25没有公共点， 所以55 22 22 22 2 2 2 2 t 46 37 55, 解得22 21t 22 21. 2 2 因此，实数 t 的取值范围是22 21,22 21. 19 （1）因为a 2,b x 1 xx ，所以f (x) 2 2. 2 x 方程f (x) 2，即2 2 x2 2，亦即(2x)222x1 0， x 所以(2 1) 0，于是2 1，解得x 0. 2x 由条件知f (2x) 2

19、22x (2x2x)22 ( f (x)22. 因为f (2x) mf (x)6对于xR恒成立，且f (x) 0， ( f (x)24 所以m 对于xR恒成立. f (x) ( f (0)24( f (x)2444 而 4， f (x) 2f (x) 4，且 f (x)f (x)f (x)f (0) 所以m 4，故实数m的最大值为 4. （2）因为函数g(x) f (x)2只有 1 个零点，而g(0) f (0) 2 a b 2 0， 00 所以 0 是函数g(x)的唯一零点. 因为g (x) a lna b lnb，又由0 a 1,b 1知lna 0,ln b 0， 所以g (x) 0有唯一

20、解x 0 log b ( a xx lna ). lnb xx2x2 令h(x) g (x)，则h (x) (a lnab lnb) a (lna) b (lnb)， 从而对任意xR，h (x) 0，所以g (x) h(x)是(,)上的单调增函数， 于是当x(,x0)，g (x) g (x 0 ) 0；当x(x 0 ,)时，g (x) g (x 0 ) 0. x 因而函数g(x)在(,x0)上是单调减函数，在(x0,)上是单调增函数. 下证x0 0. 若x0 0，则x 0 又g(log a 2) a x 0 x 0，于是g(0) g(0) 0， 22 bloga2 2 aloga2 2 0，

21、且函数g(x)在以 loga2 x 0和log a 2为端点的闭 2 区间上的图象不间断，所以在 所以log a 2 0，又 x 0和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x1. 因为0 a 1， 2 x 0 0，所以x 1 0与“0 是函数g(x)的唯一零点”矛盾. 2 x 若x0 0，同理可得，在 0和log a 2之间存在g(x)的非 0 的零点，矛盾. 2 因此，x0 0. 于是 lna 1，故lnalnb 0，所以ab 1. lnb n1* 20 （1）由已知得a n a 1 3,n N. 于是当T 2,4时，Sr a2a4 3a1 27a1 30a1. 又Sr 30，故30a

22、1 30，即a 1 1. n1* 所以数列an的通项公式为a n 3,n N . n1* （2）因为T 1,2,L ,k，a n 3 0,n N ， 所以S r a 1 a 2 L a k 13L 3k1 因此，Sr ak1. 1 k(3 1) 3k. 2 （3）下面分三种情况证明. 若D是C的子集，则SC SCI D SC S D S D S D 2S D . 若C是D的子集，则SC SCI D SC SC 2SC 2SD. 若D不是C的子集，且C不是D的子集. 令E C I CUD，F DI CUC则E ，F ，E I F . 于是SC S E S CI D ，S D S F S CI D

23、 ，进而由SC SD，得SE SF. 设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则k 1,l 1,k l. l1k 由（2）知，SE ak1，于是3 a l S F S E a k1 3，所以l 1 k，即l k. 又k l，故l k 1， 从而SF a 1 a 2 L a l 13L 3l1 3l1a k 1S E 1 ， 222 故S E 2S F 1，所以S C S CI D 2(S D S CI D )1， 即SC SCI D 2SD1. 综合得，SC SCI D 2SD. 21A 证明：在ADB和ABC中， 因为ABC 90 ,BD AC,A为公共角， 所以ADBABC，于是ABDC.

24、在RtBDC中，因为E是BC的中点， 所以ED EC，从而EDC C. 所以EDC ABD. o 1 1 a b 1 0 a b 1 B B B解：设B ，则，2 c d 0 1 c d 0 2 11a cbd 1 0 即，22 0 1 2d 2c 1 a 2 c 1 a 1 1 1b1 d 0 故，解得b ，所以 B 2 4 0 2c 0 c 0 2d 1 d 1 2 1 4 . 1 2 1 5 1 1 1 2 4 因此，AB 4 . 0 2 0 10 1 2 1x 1 t 2 y2 21，将直线l 的参数方程C解：椭圆C的普通方程为x ，代入 4 y 3 t 2 2 x2 1y 1，得(1t)2 42 16 . 7 ( 3 2t) 16 2 1，即7t216t 0，解得t1 0，t2 . 47 所以AB |t 1 t 2 | 21D.证明：因为|x1| aa ,| y 2| 33 aa a. 33 所以|2x y 4|2(x1)(y2)| 2| x1| | y2| 2 22.解： （1）抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为(,0) 由点(,0)在直线l:x y 2 0上，得 所以抛物线 C